前言：理解《机器学习》P79-83中的决策树剪枝示例。

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决策树生成

原始数据集如下所示，前10行为训练集，后7行为验证集，由此数据集可生成如下所示的决策树。

下面解释未进行剪枝操作的决策树为何如上图所示。

不对解释每个结点和分支，仅重点解释为何先由属性「脐部」来划分类别，以及「脐部」=凹陷后只需要按「色泽」划分，不再需要按其他的属性划分。

根结点包含所有训练集 $D$，共计 $1、2、3、6、7、10、14、15、16、17$ 的10个样例，其中正例占比=反例占比=5/10。故，根结点的信息熵：$Ent=-{\sum }_{k=1}^2{p}_k{\log }_2{p}_k=1$。

若以属性「色泽」为类别划分的属性，得：

	色泽	训练样例	正例 $p_1$	反例 $p_2$	信息熵 $Ent(D^i)$
$D^1$	青绿	{ 1 , 6 , 10 , 17 } \{1,6,10,17\} {1,6,10,17}	2/4	2/4	1
$D^2$	乌黑	{ 2 , 3 , 7 , 15 } \{2,3,7,15\} {2,3,7,15}	3/4	1/4	0.811
$D^3$	浅白	{ 14 , 16 } \{14,16\} {14,16}	0	1	0

信息增益：$Gain(D,色泽)=Ent(D)-{\sum }_{v=1}^3\frac{|D^v|}{|D|}Ent\left(D^v\right)=1-(\frac{4}{10}\ast 1+\frac{4}{10}\ast 0.811+\frac{2}{10}\ast 0)=0.2756‬$

同理，计算出其他属性的信息增益，根蒂：0.1145；敲声：0.1735；纹理：0.1735；脐部：0.2756；触感：0。属性「脐部」和「色泽」的信息增益同样大，可任选其一的「脐部」作为划分属性。

此外，当「脐部」=凹陷时，训练样例为D’={1,2,3,14}，「色泽」=青绿、乌黑、浅白的训练样例分别为：{1}、{2,3}、{14}，各类中类别相同无需再划分。

树的剪枝–预剪枝与后剪枝

剪枝（pruning）可以应对过拟合，剪枝处理分为预剪枝（prepruning）和后剪枝（post-pruning）。

剪枝	特点	优点	缺点
预剪枝	决策树生成过程中，对每个结点划分前进行估计，若划分不能提升决策树泛化性能，则不划分	边生成决策树边确定是否划分，可减少决策树的训练时间和测试时间	存在欠拟合的风险，即有些划分可能当前不利于模型性能，但后续划分可能有利于模型
后剪枝	生成决策树后，自底向上对非叶结点考察，若取消划分能提升决策树泛化性能，则取消	欠拟合风险小。通常比预剪枝保留更多分支，泛化性能更优	因是生成决策树后再剪枝，训练和测试时间更多

下面借助预剪枝中是否对根结点按属性「脐部」来划分和是否对「脐部」=凹陷的训练样本按色泽来划分，理解预剪枝和后剪枝的过程。

是否对根结点按属性「脐部」来划分：

• 不按「脐部」来划分后，因为训练集中好、坏瓜类别个数相等，所以可选择好瓜作为类别标记，则对于单结点的决策树，验证集中编号 { 4 , 5 , 8 } \{4,5,8\} {4,5,8} 样例被划分正确，验证集精度为 $3/7$。
• 按「脐部」来划分，验证集中正确分类的编号是： { 4 , 5 , 8 , 11 , 12 } \{4,5,8,11,12\} {4,5,8,11,12}，错误分类的编号是： { 13 , 9 } \{13,9\} {13,9}，故精度为 $5/7$。

因此，按「脐部」划分可提升验证集精度。

是否对「脐部」=凹陷的训练样本按色泽来划分：划分前后验证集精度下降，故不划分，具体如下图所示。

注意：确定是否按「色泽」划分时，验证集中确定分类的编号要考虑「脐部」=稍凹和平坦中正确的编号。

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参考文章或视频：

决策树总结（三）剪枝 - 知乎 (zhihu.com)

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