问题背景

在具有有限快速主存和较大慢速磁盘存储空间的计算机系统中，实现一个可以增长到非常大，以至于无法全部装入主存中的栈，是一个具有挑战性的问题。栈的操作包括PUSH（入栈）和POP（出栈），操作的对象是单字数据。

简单实现方法的分析

实现方法

将整个栈存放在磁盘上，仅在主存中保持一个指向栈顶元素磁盘地址的指针。栈顶元素位于磁盘页的特定位置，该位置由栈指针的值和每页字数共同决定。

PUSH操作

1. 增加栈指针。
2. 从磁盘读取适当的页到主存。
3. 将新元素复制到页上的适当位置。
4. 将该页写回磁盘。

POP操作

1. 减少栈指针。
2. 从磁盘读取所需的页到主存。
3. 返回栈顶元素。
4. 不需要写回，因为页未被修改。

成本分析

• 磁盘存取次数：每次PUSH或POP操作都需要至少一次磁盘存取（读取或写入）。
• CPU时间：每次磁盘存取都需要θ(m)的CPU时间，其中m是每页的字数。

渐近分析

• 对于n个栈操作，简单实现需要n次磁盘存取，因此总磁盘存取次数为n。
• CPU时间是磁盘存取次数乘以每页的字数处理时间，即n * θ(m)。

优化实现方法

实现方法

在主存中保持栈的一页或多页，使用少量额外主存记录当前哪些页在主存中。只有当相关的磁盘页在主存中时，才能执行栈操作。如果需要，可以写回当前页到磁盘，并从磁盘读入新的一页。

成本分析

• 对于n个PUSH操作，如果使用单页主存策略，磁盘存取次数为n，因为每个PUSH都需要从磁盘读取和写入一次。
• 对于n个POP操作，如果栈顶元素已经在主存中，则不需要磁盘存取。如果需要从磁盘读取，则每个POP操作最多需要一次磁盘存取。

渐近分析

• 对于n个PUSH操作，磁盘存取次数为n，CPU时间为n * θ(m)。
• 对于n个POP操作，如果栈顶元素已经在主存中，则磁盘存取次数为0；否则，最多为n，CPU时间类似。

进一步优化：双页管理策略

实现方法

在主存中保持栈的两页，使用额外的少量主存记录哪些页在主存中。通过有效的页管理策略，减少磁盘存取次数。

管理策略

1. 当执行PUSH操作时，如果当前页未满，直接在该页上操作；如果已满，则写回该页到磁盘，并从磁盘读取下一页到主存。
2. 当执行POP操作时，如果当前页不为空，直接在该页上操作；如果为空，则从磁盘读取上一页到主存，并写回当前页到磁盘。

成本分析

• 对于每个栈操作，摊还磁盘存取次数为O(1/m)，因为每页可以进行m个操作后才需要磁盘存取。
• 摊还CPU时间为O(1)，因为每次操作后，都只有常数级别的CPU工作量。

伪代码示例

PUSH(S, x)
  if S.full then
    Write S to disk
    Load next page from disk into S
  end if
  S.top <- x
  S.size <- S.size + 1

POP(S)
  if S.empty then
    Load previous page from disk into S
    Write S to disk
  end if
  x <- S.top
  S.size <- S.size - 1
  return x

C代码示例

#define PAGE_SIZE 1024  // 假设每页可以存储1024个单字
typedef struct {
    int data[PAGE_SIZE];
    int size;
    int page_number;
} StackPage;

void push(StackPage *S, int x) {
    if (S->size == PAGE_SIZE) {
        // 写入当前页到磁盘
        // 加载下一页到主存
    }
    S->data[S->size] = x;
    S->size++;
}

int pop(StackPage *S) {
    if (S->size == 0) {
        // 从磁盘加载上一页到主存
        // 写入当前页到磁盘
    }
    S->size--;
    return S->data[S->size];
}

结论

通过优化栈的磁盘和主存管理策略，可以显著减少磁盘存取次数和CPU时间，从而提高栈操作的效率。双页管理策略通过在主存中保持两个栈页，进一步优化了磁盘存取次数和CPU时间，使得任何单个栈操作的摊还成本降低。