4700. 何以包邮？ - AcWing题库

设满x元包邮，题目要求总价值至少x的最小价值

目录

1、一维 01背包-至少模板

至少模板和至多模板的两大区别

2、二分 + 二维 01背包-至多模板

（1）二维dp 

3、逆向思维 + 一维 01背包-至多模板

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1、一维 01背包-至少模板

思路：

至少模板和至多模板的两大区别

• 初始化不同：
• 至多模板求的是最大值，所以初始化为f[0~m]=0
• 至少模板求的是最小值，所以初始化为f[0]=0  f[1~m]=0x3f3f3f3f
• j 循环范围不同：
• 至多模板 for(int j=m;j>=w[i];j--) f[j] = max(f[j] , f[ j-w[i] ] + w[i])
• 至少模板 for(int j=m;j>=0;j--) f[j] = min(f[j] , f[ max(j-w[i] , 0) ] + w[i])

import java.util.*;

class Main
{
    static int N=35,M=30*10000+10;
    static int[] w=new int[N];
    static int[] f=new int[M];
    static int n,x;
    
    public static void main(String[] args)
    {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        n=sc.nextInt();x=sc.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;i++)  w[i]=sc.nextInt(); 
        
        Arrays.fill(f,0x3f3f3f3f);
        f[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=x;j>=0;j--)
                f[j]=Math.min(f[j],f[Math.max(j-w[i],0)]+w[i]);
        
        System.out.print(f[x]);
    }
}

2、二分 + 二维 01背包-至多模板

思路：

由于买的书越多，总价值越大，满足单调性

所以我们可以用二分找出总价值≥x的最小价值

二分区间是【x，30*】，用r=mid二分模板

check(mid)函数用于判断是否满足包邮条件，函数内用01背包模板（求的是总价值不超过mid的最大价值），如果f[n][mid]>=x,则可以往小寻找，否则往大寻找

（1）二维dp 

import java.util.*;

class Main
{
    static int N=35,M=30*10000+10;
    static int[] w=new int[N];
    static int[][] f=new int[N][M];
    static int n,x;
    
    //f[i][j] 只选前i件物品，总价格不超过j的情况下，最大价值
    public static int ck(int xx)
    {
        f[0][0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=0;j<=xx;j++)
            {
                f[i][j]=f[i-1][j];
                if(j>=w[i]) f[i][j]=Math.max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]]+w[i]);
            }
        return f[n][xx];
    }
    
    public static void main(String[] args)
    {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        n=sc.nextInt();
        x=sc.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=sc.nextInt();
        
        int l=x,r=300000;
        while(l<r)
        {
            int mid=l+r>>1;
            if(ck(mid)>=x) r=mid;
            else l=mid+1;
        }
        System.out.print(r);
    }
}

3、逆向思维 + 一维 01背包-至多模板

思路：

题目要让满足≥x的情况下最小价值

我们可以统计所有物品的总价值sum

剩余物品总价值sum-x，让剩余不选物品的总价值越大，则需要选的物品总价值越小

所以我们可以求出总价值不超过sum-x的最大价值（一旦超过，则所选物品不满足包邮条件）

最后让sum-最大价值，即为满足包邮条件的最小价值

import java.util.*;

class Main
{
    static int N=35,M=30*10000+10;
    static int[] w=new int[N];
    static int[] f=new int[M];
    static int n,x;
    
    public static void main(String[] args)
    {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        n=sc.nextInt();
        x=sc.nextInt();
        int sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
           w[i]=sc.nextInt(); 
           sum+=w[i];
        }
        int sur=sum-x;
        //在剩余价值里找最大价值 则要选价值则越小
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=sur;j>=w[i];j--)
                f[j]=Math.max(f[j],f[j-w[i]]+w[i]);
        
        System.out.print(sum-f[sur]);
    }
}