【机器学习原理】决策树从原理到实践

基于树的模型是机器学习中非常重要的一类模型，最基础的就是决策树，本篇主要讲述决策树的原理和几类最常见的决策树算法，这也是更复杂的树模型算法的基础。

参考文章：
1.CSDN-基于熵的两个模型(ID3,C4.5)比较详细，有数字例子

2.腾讯云-基于基尼指数的模型(CART)比较详细，有数字例子

3.知乎-在CART剪枝这里比较详细

文章目录

1.原理
- 1.1.基于熵
- - 1.1.1.熵
  - 1.1.2.条件熵
  - 1.1.3.熵的意义
  - 1.1.4.ID3
  - 1.1.5.C4.5
- 1.2.基于基尼指数
- - 1.2.1.基尼指数
  - 1.2.2.CART分类
  - 1.2.3.CART回归
- 1.3.连续数据
- 1.4.剪枝
2.代码

1.原理

首先给出集中集中常见决策树算法的对比：
在这里插入图片描述
下面展开叙述。

1.1.基于熵

1.1.1.熵

熵最常用在信息学里面，是一种表示不确定性的度量。
假设对于随机变量 $X$ 存在分布 $P(X=x_i)=p_i，i=1,2,...,n$ ，此时定义熵：
$H(X)=H(p)=-∑_{i=1}^{n}p_ilog_ap_i$ 其中， $H (X) = H (p)$ 是因为结果只和分布有关，对于 $l o g$ 的底 $a$ ，可以为 $2, e ...$ 。

若 $a \geq 1$ ,存在等式：
$0≤H(x)≤log_an$ 左显然成立（和 $a$ 无关），因为 $p_i≤1$ ，那么 $log_ap_i≥0$ ，求和后依然成立。

右边的根据博客的说法：

熵越大代表随机变量的不确定性越大，当变量可取值的种类一定时，其取每种值的概率分布越平均，其熵值越大。

也就是分布非常平均，此时每个都是 $\frac{1}{n}log_an$ ，此时取得最大熵 $log_an$ （也就是不确定性最大，通俗理解也就是没给出任何信息，因为本身 $n$ 件事的先验分布就是均匀分布）。

下面是补充的一些概念：

若 p=0 ，则定义 0log⁡0=0 。
对数以 2 为底熵的单位为比特（bit）
对数以 e 为底熵的单位为纳特（nat）

1.1.2.条件熵

条件熵表示在已知 $X$ 的条件下对 $Y$ 不确定性的度量。首先假设 $X, Y$ 的联合分布为：$
$P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij},i=1,2,...,n，j=1,2,...,m$ 那么 $Y$ 关于 $X$ 的条件熵 $H (Y ∣ X)$ 就是：
$H(Y|X=x_i)=∑_{i=1}^{n}P(X=x_i)H(Y|X=x_i)\\ =∑_{i=1}^{n}P(X=x_i)∑_{j=1}^{m}-P(Y=y_j|X=x_i)logP(Y=y_j|X=x_i)$ （省略掉了 $l o g$ 的底 $a$ ）

1.1.3.熵的意义

前面讲了熵和条件熵的计算，在这里结合一个实例来记录熵的意义。

比如有下面这个关于贷款统计的统计表：

那么假如要计算类别的熵，在一开始没分类的情况下， $H (D)$ 的计算如下：
$H(D)=-(\frac{6}{15}log\frac{6}{15}+\frac{9}{15}log\frac{9}{15})=0.971$ 这就是一开始的不确定性为0.971，而分类的目标就是利用相应的特征，使得为是和为否的样本在不同的子集中，可以想象，加入类别全是为是，那么此时 $H (D) = 1 l o g 1 = 0$ ，这也就消除了全部的不确定性。

为了达到分成不同子集的目标，引入了条件熵，而分类的依据被称作特征，对应了条件熵中的 $X$ ，假设现在根据年龄来划分，年龄对应了青年、中年和老年，分别计算对应的条件熵 $H (D ∣ X)$ ，设青年、中年和老年分别为 $x_1、x_2、x_3$ ：
$H(D|X=x_1)=P(X=x_i)H(D|X=x_1)\\ =\frac{5}{15}(-\frac{2}{5}log\frac{2}{5}-\frac{3}{5}log\frac{3}{5})+\frac{5}{15}(-\frac{3}{5}log\frac{3}{5}-\frac{2}{5}log\frac{2}{5})+\frac{5}{15}(-\frac{4}{5}log\frac{4}{5}-\frac{1}{5}log\frac{1}{5})\\ =0.888$ 也就是特征 $X$ 的引入，使得分类结果的不确定性从 $H (D) = 0.971$ 变为了 $H (D ∣ X) = 0.888$ ，这也就说明分类结果变得更加确定，通过不断加入特征，减少分类结果的熵，从而得到正确的分类器。

1.1.4.ID3

ID3是一种基于信息增益的分割方式，信息增益定义为 $g (Y ∣ X)$ ，如下：
$g (Y ∣ X) = H (Y) - H (Y ∣ X)$ 每次选择信息增益减少最多的进行分裂。但是这样会导致一个结果，假设有一个类别有很多种类，比如15个样本有15个种类，那么分类器就会分出15个类别，这样可以将每个类别的熵减少到0，完全确定，但是显然这个分类器深度过浅且过于庞大，不利于模型的泛化，此时可以设定 $α$ ，对小于增益小于阈值的进行剪枝。

1.1.5.C4.5

C4.5主要为了改善上面提到的单特征多类别的问题，定义信息增益比，记为 $g_R(Y|X)$ ，如下：
$g_R(Y|X)=\frac{H(Y)-H(Y|X)}{H(Y)}$ 此时如果 $Y$ 的类别很多，那么其熵 $H (Y)$ 就会增大，那么此时信息增益比就会变小，那么就不会有限选择这样的特征进行分裂。

ID3和C4.5生成的都是多叉树分类器，基于熵的算法只能用于分类任务，不能用于回归任务。

1.2.基于基尼指数

1.2.1.基尼指数

在分类问题中，假设存在 $n$ 种类别，每个类别为 $x_i$ ，存在概率分布：
$P(X=x_i)=p_i,i=1,2,3,...,n$ 将基尼指数记为 $G ini (p)$ ，如下：
$Gini(p)=∑_{i=1}^{n}p_i(1-p_i)=1-∑_{i=1}^{n}p_i^2$ 可以发现，假如此时存在一个类别，那么 $p_i=1$ ，此时基尼指数为0，确定性最强；要是有两个类别，概率平均分配，那么 $Gini=1-0.5^2-0.5^2=0.5$ ，这和熵类似，都是不确定性的度量，被称为纯度，Gini越小，纯度越高。

1.2.2.CART分类

下面是关于使用 $G ini$ 指数进行分类。

CART分类树的生成基于 $G ini$ 指数。

假设当前分裂的集合 $D$ 中包含 $K$ 个样本，每次选择一个特征的一个值 $A$ ，将样本分为是该值/不是该值的两部分，记为 $D_1/D_2$ ，计算该特征对应的基尼指数：
$Gini(D,A)=\frac{|D_1|}{|D|}Gini(D_1)+\frac{|D_2|}{|D|}Gini(D_2)$ 其中 $∣ D ∣$ 表示样本集的数量。

下面以一个例子来说明，还是上面的贷款数据集，假设现在要计算年龄特征，年龄特征分别是青年、中年、老年，分别记为 $A_1,A_3,A_3$ ，先计算 $Gini(D,A_1)$ ，此时 $D_1$ 对应为青年的样本，有5个， $D_2$ 对应不为青年的样本，有10个。

计算如下：
$Gini(D_1)=\frac{2}{5}(1-\frac{2}{5})+\frac{3}{5}(1-\frac{3}{5})\\ Gini(D_2)=\frac{7}{10}(1-\frac{7}{10})+\frac{3}{10}(1-\frac{3}{10})\\ Gini(D,A1)=\frac{|D_1|}{|D|}Gini(D_1)+\frac{|D_2|}{|D|}Gini(D_2)=\frac{5}{15}Gini(D_1)+\frac{10}{15}Gini(D_2)$ 每个 $Gini(D_i)$ 都是在计算分类节点内样本所有类别（比如贷款/不贷款或者还有更多类别）对应的和。

在找出 $G ini$ 指数最小的那个分裂点之后，将其作为最优切分点，继续分裂，对于 $G ini$ 指数已经为0的，这样的样本已经很纯（内部只有一个类别），因此无需继续分裂。

这样不断迭代，算法停止计算的条通常是节点中的样本点个数小于设定阈值，或样本集合的基尼不纯度小于设定阈值，亦或是没有更多特征，这一点同ID3和C4.5算法的停止条件类似。

1.2.3.CART回归

上面的是分类的做法，不同于基于熵的做法，基于 $G ini$ 指数的CART算法可以用于回归任务。

回归任务一般的目标就是和标签值越越接近越好。跟线性回归类似，CART的损失函数如下：
$L(y,\hat{y})=∑_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2$ CART用于回归的思想：不断把区间按照一定的规则一分为二，给切分后的区间分别置为最优输出值，计算出每种切分方式的损失，选出损失最少的规则进行切分，然后对残差继续切分，不断迭代。

表达式如下：
$\min\limits_{j,s}(∑_{i=1}^{s}(y_i-C_1)^2+∑_{i=s+1}^{n}(y_i-C_2)^2)$ 其中 $j, s$ 表示第 $j$ 个变量的分裂点 $s$ （因为是一分为二，所有有个分裂点），分为两个集合 $R_1,R_2$ ， $C_1,C_2$ 分别是 $R_1,R_2$ 的最优取值，也就是位于这个集合之内的值都是这个，可以是对应集合所有值的均值。

下面举个例子：

比如有一个回归任务如下：

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$y$	5.56	5.70	5.91	6.40	6.80	7.05	8.70	8.90	9.00	9.05

首先先确定分割点，定义为 $z=(x_i+x_{i+1})/2,i=1,2,...,9$ ，也就是 $1.5, 2.5, ...9.5$ ，取其中一个值，那么 $x$ 就被分为两个部分，分别是 $1 - - in t (z)$ 和 $in t (z) + 1 - - 10$ 。

比如对于 $z = 1.5$ ，此时两个集合分别对应 $R_1={\{x|1\}}$ 和 $R_2={\{x|2,3,...,9\}}$ ，均值分别为 $5.56, 7.50$ ，这也就对应了 $C_1,C_2$ ，代入公式计算损失：

$_{i=1}^{s}(y_i-C_1)^2+∑_{i=s+1}^{n}(y_i-C_2)^2)\\ =(∑_{i=1}^{1}(y_i-5.56)^2+∑_{i=2}^{10}(y_i-7.50)^2)=15.72$ 同理，可以计算其他所有分割方式的损失，得到：

可以看到等于6.5的时候得到了最小的损失，因此将6.5作为第一个分割点，得到如下分割规则：
$f(x)=T_{1}(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 6.24,x ≤ 6.5 \\ 8.91,x＞6.5 \end{array} \right.$ （这里的 $6.24$ 是 $1 - 6$ 的均值， $8.91$ 是 $7 - 10$ 的均值）

由此规则可以计算出所有点的残差：

此时按照上面的规则再对残差进行分割，得到在3.5的时候有最小的损失，即
$T_{2}(x)=\left\{ \begin{array}{cc} -0.52,x ≤ 3.5 \\ 0.22,x＞3.5 \end{array} \right.$ 将 $T_2$ 和 $T_1$ 进行叠加，得到新的分类结果：
$f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 5.72,\;x ≤ 3.5 \\ 6.46,\;3.5＜x≤6.5\\ 9.13,\;x＞6.5 \end{array} \right.$ 其中这里的 $5.72 = 6.24 - 0.52$ ，下面的同理，就是跟前面的叠加。

重复这样的过程，就可以得到回归树。

1.3.连续数据

离散化

前面讲的分类都是离散数据，但是实际情况中存在连续数据，那么和前面CART的回归类似，先将序列排序，然后计算 $z$ 序列， $z$ 序列为相邻两值的均值，然后形成 $n - 1$ 个分裂点，这就可以看做前面的若干类别，那么就跟离散变量是一致的了。（取小于该值和大于该值的作为两个集合，相当于两个类别）

1.4.剪枝

下面是关于剪枝的部分，因为树模型不断的分裂，很有可能形成一个很复杂的分类树，那么就需要对模型进行剪枝，下面是一种剪枝方式。

下面提出误差率的概念，误差率表示预测错误的占总数的比例，定义为
$C(t)=\frac{num_{err}}{num}$ 其中， $t$ 为某决策树， $num_{err}$ 表示该决策树在训练集上预测错误的数量（数量最大的为预测类别，和标答不一样的都是预测错误的）， $n u m$ 表示样本总数。

在剪枝的过程中，将损失函数变形为：
$C_a(T)=C(T)+a|T|$ 其中 $∣ T ∣$ 表示叶子结点的个数， $a$ 是一个系数，需要计算得到。这个表达式本质就是在计算对一个节点（只关注这一个节点）进行分裂之后，每多一个叶子，多一个惩罚项 $a$ 。

可以看到，若 $a = 0$ ，那么就是原来的损失函数，因为分裂的越多，准确率也越高，那么最终一定会倾向于有很多叶子结点；若 $a - > + \infty$ ，此时一旦分裂，就会有很大的惩罚项，那么就倾向于不分裂。这个中间存在一个值 $a^*$ 使得：
$C_a(t)=C(t)+a^*\\ C_a(T_t)=C(T_t)+a^*|T|\\ C_a(t)=C_a(T_t)$ 其中 $t$ 为剪枝后的决策树（只有一个叶子结点，所以是 $a^*$ ）， $T_t$ 为剪枝前的决策树（有 $∣ T ∣$ 个叶子节点）， $C_a$ 为其对应在训练集的误差率。

这几个式子表明存在一个值 $a^*$ 使得分裂前和分裂后的误差函数相同，联立可解 $a^*$ ：
$a^*=\frac{C(t)-C(T_t)}{|T|-1}$ 对于每个非根节点且非叶子的节点，都计算这个值 $a^*$ ，形成一个序列，选出最小的那个进行剪枝。

为什么选最小的， $a^*$ 对应的剪枝前后的树的损失函数是一样的，由上面的 $a^*$ 的计算式子，如果 $a^*$ 比较小，因为 $C(T_t)$ 是一样的（剪枝前大家都一样），那么要么是 $C (t)$ 比较小（剪枝后误差比较小），要么是 $∣ T ∣$ 比较大（剪枝前叶子比较多），这两种情况都应该把节点给剪枝。

对于每个节点，计算剪枝前后误差率之差（也就是节点误差率-叶子误差率之和），选出误差率最小的，然后剪枝。

这是一个具体过程，也就是计算a的过程，就不详细展开了。（但是个人感觉计算有点冗余）

2.代码

下面是代码实现的部分，写了一个基于CART的分类树，使用的样本就是上面提到的贷款数据，数据如下图：
在这里插入图片描述
是一个.txt文档，运行后得到了分类的结果，最终分类的几个集合都只有一个类别，也就是根据这些分类规则，可以完全将数据分开。

完整代码

# 基于CART的决策分类树复现(离散)
import collections
import queue
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

def load_data():
    with open('static/data.txt', mode='r', encoding='utf-8') as f:
        data=f.read().split('\n')
    title=data[0].split(' ')
    x=[]
    y=[]
    for i in range(1,len(data)):
        xy = data[i].split(' ')
        x.append(xy[:-1])
        y.append(xy[-1]) # 最后一个是标签
    x = np.array(x)
    y = np.array(y)
    return title,x,y

class Node():
    def __init__(self,node_id=0,deep=0,id_list=None,nxt_list=None,split=True):
        self.node_id=node_id
        self.deep = deep
        if id_list is not None:
            self.id_list = np.array(id_list,dtype=int)  # 当前节点的索引集合
        else:
            self.id_list=[]
        if nxt_list is not None:
            self.nxt_list = np.array(nxt_list)  # 当前节点的索引集合
        else:
            self.nxt_list=np.array([])
        self.split=split # 是否需要继续分裂

class CART():
    def fit(self,x,y,gini_thresh=0.1):
        samples = x.shape[0]
        features = x.shape[1]
        root = Node(node_id=0,deep=1,id_list=np.arange(samples),nxt_list=[],split=True)
        # 先统计y的相关信息
        y_cag = collections.Counter(y)
        # print('标签统计信息:',y_cag)
        # label_list = list(y_cag.keys()) # y的所有类别
        tree = [root] # 存储最终的树
        q = queue.Queue() # 产生一个队列
        q.put(root)
        split_cnt = 0 # 记录分裂次数
        while not q.empty(): # 取出一个节点
            node = q.get() # 移除并返回数据
            id_list = node.id_list # 得到当前集合的所有id
            label_num = collections.Counter(y[id_list]) # 当前集合样本的所有对应标签的样本数
            num_all = id_list.size # 单管集合的所有数据
            min_gini = [0,None,0x3f3f3f3f,[],None] # 记录当前集合feature索引和特征名称(分裂信息),以及对应的gini指数,还有集合id
            for i in range(features): # 对于每个feature选择
                # 求出所有特征类别和对应的id
                feat_dict = {}
                # 这个地方有问题(不应该统计所有样本,而是当前对应的,应该可以在上面的id循环里面统计掉)
                for idx in id_list:
                    if x[idx,i] not in feat_dict.keys():
                        feat_dict[x[idx,i]]=[] # 当前id(索引)
                    feat_dict[x[idx, i]].append(idx)
                # 下面枚举将当前特征特征的每个取值作为分割点
                for type in feat_dict.keys(): # type作为分割点(统计分割点内的个样本匹配数量)
                    res = {}
                    for idx in feat_dict[type]:
                        if y[idx] not in res:
                            res[y[idx]]=0
                        res[y[idx]]+=1
                    # 根据统计出的数量已经可以计算基尼系数 gini=1-∑p^2
                    num = len(feat_dict[type]) # 得到数量(为是的)
                    gini_D1 = 1
                    for key in res.keys():
                        gini_D1-=(res[key]/num)**2
                    gini_D2 = 1
                    if num_all!=num:
                        for key in label_num.keys(): # 利用集合总数来推算为否的集合gini
                            sub = 0 # 要减去的样本(在集合D1的)
                            if key in res.keys():
                                sub = res[key]
                            gini_D2-=((label_num[key]-sub)/(num_all-num))**2
                    gini = (num/num_all)*gini_D1+((num_all-num)/num_all)*gini_D2
                    if gini<min_gini[2]:
                        min_gini[0]=i
                        min_gini[1] = type # 第i个特征的类别type
                        min_gini[2]=gini
                        min_gini[3] = feat_dict[type] # 记录id
                        min_gini[4]= (gini_D1,gini_D2) # 记录两个集合的gini决定是否继续分裂
            # 找到最小的gini进行分裂
            split_cnt+=1
            # print('总样本集:',id_list)
            print('第 %d 次分裂,根据第 %d 个特征的 %s 类别'%(split_cnt,min_gini[0],min_gini[1]))
            id_D1 = min_gini[3]
            id_D2 = []
            # print(id_list)
            for id in id_list:
                if id not in id_D1:
                    id_D2.append(id)
            # 生成两个节点
            id1 = len(tree)
            id2 = len(tree)+1 # 即将插入的两个节点的id(也就是在tree中的索引)
            tree[node.node_id].nxt_list=[id1,id2]
            node1 = Node(node_id=id1,deep=node.deep+1,id_list=id_D1,nxt_list=[])
            node2 = Node(node_id=id2,deep=node.deep+1,id_list=id_D2,nxt_list=[])
            # 判断是否需要继续分裂(纯度,纯度也就是如果都是一个类别为0就不分裂,还有个用阈值计算,懒得算了)
            if min_gini[4][0]<gini_thresh:
                node1.split=False # 无需分裂
            else:
                q.put(node1)
            if min_gini[4][1]<gini_thresh:
                node2.split=False # 无需分裂
            else:
                q.put(node2)
            tree.append(node1)
            tree.append(node2)
        # print(tree)
        self.tree  = tree

    def printTree(self):
        tree = self.tree
        print('----------- CART -----------')
        print('()中表示深度,根节点为1')
        for subtree in tree:
            if subtree.split:
                print('(%d)'%(subtree.deep),subtree.id_list, end='')
                print(' -> ',end='')
                node1 = tree[subtree.nxt_list[0]]
                print('(%d)'%(node1.deep),node1.id_list,end=' + ')
                node2 = tree[subtree.nxt_list[1]]
                print('(%d)'%(node2.deep),node2.id_list)
        print('----------------------------')

if __name__ == '__main__':
    title,x,y = load_data()
    print('********* 特征 *********')
    for i in range(len(title)):
        print(i+1,title[i])
    print('***********************')
    dct_cart = CART()
    dct_cart.fit(x,y)
    dct_cart.printTree()