1不相交的线
在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。
现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足：
-
nums1[i] == nums2[j] - 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。
示例 1：
输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4] 输出：2 解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。 但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。
示例 2：
输入：nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2] 输出：3
示例 3：
输入：nums1 = [1,3,7,1,7,5], nums2 = [1,9,2,5,1] 输出：2
提示：
1 <= nums1.length, nums2.length <= 5001 <= nums1[i], nums2[j] <= 2000
思路：
绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且直线不能相交！
直线不能相交，这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。拿示例nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]为例，相交情况如图：
其实也就是说nums1和nums2的最长公共子序列是[1,4]，长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面）
这么分析完之后，大家可以发现：本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！
首先，我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示 nums1 的前 i 个数字和 nums2 的前 j 个数字所能组成的最大不相交连线数。
然后，我们可以考虑状态转移方程。当 nums1[i-1] == nums2[j-1] 时，说明 nums1 的第 i 个数字和 nums2 的第 j 个数字可以连线，此时最大连线数为 dp[i-1][j-1] + 1。否则，说明 nums1[i-1] 和 nums2[j-1] 不能连线，那么最大连线数为 max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，即不考虑当前这对数字时的最大连线数。
最后，我们遍历 nums1 和 nums2 的所有组合情况，计算得到 dp[nums1.size()][nums2.size()]即为所求的结果
代码：
class Solution {
public:
int maxUncrossedLines(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
// 创建二维动态规划数组，大小为 nums1.size()+1 行，nums2.size()+1 列，初始化为0
vector<vector<int>> dp(nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));
// 遍历 nums1 和 nums2 的所有组合情况
for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
// 当 nums1[i-1] 和 nums2[j-1] 相等时，更新 dp[i][j] 为左上角值加一
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
// 否则，更新 dp[i][j] 为上方和左方值的较大者
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
// 返回最终结果，即 dp[nums1.size()][nums2.size()]
return dp[nums1.size()][nums2.size()];
}
};2 最大子数组和
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组
是数组中的一个连续部分。
示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 输出：6 解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：
输入：nums = [1] 输出：1
示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8] 输出：23
提示：
1 <= nums.length <= 105-104 <= nums[i] <= 104
思路：
首先，我们定义一个动态规划数组 dp，其中 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的子数组的最大和。
然后，我们考虑状态转移方程。对于数组中的第 i 个元素 nums[i]，我们有两种选择：要么将其加入前面的子数组，形成一个新的子数组；要么将其作为新的起点，重新开始一个新的子数组。因此
1 dp[i]只有两个方向可以推出来：
- dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
- nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
这个方程的含义是，要么当前元素加上前一个元素的子数组和构成了一个更大的子数组，要么当前元素本身构成了一个新的子数组。我们选择其中较大的那个作为 dp[i] 的值。
2 dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。
dp[0]应该是多少呢?
根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。
3 确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
代码：
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
// 如果数组为空，则直接返回0
if (nums.size() == 0) return 0;
// 创建动态规划数组，大小为 nums.size()，用于存储最大子数组和
vector<int> dp(nums.size());
dp[0] = nums[0]; // 初始化动态规划数组的第一个元素为数组的第一个元素
int result = dp[0]; // 用于存储最大子数组和的变量，初始化为数组的第一个元素
// 遍历数组，计算最大子数组和
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
// 状态转移公式：当前元素加上前一个元素的动态规划值，或者当前元素本身，取两者中的较大值
dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
// 更新最大子数组和的值
if (dp[i] > result) result = dp[i];
}
// 返回最终的最大子数组和
return result;
}
};3 判断子序列
给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。
字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。
进阶：
如果有大量输入的 S，称作 S1, S2, ... , Sk 其中 k >= 10亿，你需要依次检查它们是否为 T 的子序列。在这种情况下，你会怎样改变代码？
致谢：
特别感谢 @pbrother 添加此问题并且创建所有测试用例。
示例 1：
输入：s = "abc", t = "ahbgdc" 输出：true
示例 2：
输入：s = "axc", t = "ahbgdc" 输出：false
双指针思路：
- 定义两个指针
i和j，分别用于遍历两个序列nums1和nums2。 - 初始时，
i和j都指向两个序列的起始位置。 - 在遍历过程中，比较
nums1[i]和nums2[j]是否相等。 - 如果相等，则将
j移动到nums2的下一个位置。 - 无论是否相等，都将
i移动到nums1的下一个位置。 - 当遍历完
nums1或者nums2中的任意一个时，停止遍历。 - 如果
j已经达到nums2的末尾，则说明nums2是nums1的子序列，返回true。 - 如果遍历完
nums1后，j还没有到达nums2的末尾，则说明nums2不是nums1的子序列，返回false。
代码：
#include <vector>
class Solution {
public:
bool isSubsequence(std::vector<int>& nums1, std::vector<int>& nums2) {
int i = 0, j = 0;
int n = nums1.size();
int m = nums2.size();
// 遍历 nums1
while (i < n && j < m) {
// 如果 nums1[i] 与 nums2[j] 相等
if (nums1[i] == nums2[j]) {
// 移动 nums2 的指针
j++;
}
// 无论是否匹配，nums1 的指针都移动到下一个位置
i++;
}
// 如果 nums2 的指针到达末尾，则 nums2 是 nums1 的子序列
return j == m;
}
};动态规划思路：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。
注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。
然后，我们初始化动态规划数组 dp 的大小为 (s.size() + 1) * (t.size() + 1)，并将所有元素初始化为 0。接着，我们遍历字符串 s 和 t 的所有字符，外层循环遍历 s 的每个字符，内层循环遍历 t 的每个字符。
在遍历过程中，如果 s 的第 i 个字符等于 t 的第 j 个字符，则说明找到了一个相同的字符，此时 dp[i][j] 的值为 dp[i - 1][j - 1] + 1，表示将该字符加入子序列中。如果 s 的第 i 个字符不等于 t 的第 j 个字符，则说明当前字符不能加入子序列，此时 dp[i][j] 的值为 dp[i][j - 1]，表示不将该字符加入子序列中。
具体推出递推公式思路如下：
- if (s[i - 1] == t[j - 1])
- t中找到了一个字符在s中也出现了
- if (s[i - 1] != t[j - 1])
- 相当于t要删除元素，继续匹配
- if (s[i - 1] == t[j - 1])，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;，因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1
- if (s[i - 1] != t[j - 1])，此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素t[j - 1]删除，那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了，即：dp[i][j] = dp[i][j - 1];
遍历完成后，如果 dp[s.size()][t.size()] 的值等于 s 的长度，则说明 s 是 t 的子序列，返回 true；否则返回 false。
代码：
#include <vector>
#include <string>
class Solution {
public:
// 判断字符串 s 是否是字符串 t 的子序列
bool isSubsequence(string s, string t) {
// 创建二维动态规划数组，dp[i][j] 表示 s 的前 i 个字符是否是 t 的前 j 个字符的子序列
vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
// 遍历 s 和 t 的所有字符
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
// 如果 s 的第 i 个字符等于 t 的第 j 个字符
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 则 s 的前 i 个字符作为 t 的前 j 个字符的子序列的长度加一
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
// 否则，s 的前 i 个字符作为 t 的前 j 个字符的子序列的长度与之前的相同
dp[i][j] = dp[i][j - 1];
}
}
}
// 如果 s 的所有字符都是 t 的子序列，则返回 true，否则返回 false
if (dp[s.size()][t.size()] == s.size()) {
return true;
}
return false;
}
};4不同的子序列
给你两个字符串 s 和 t ，统计并返回在 s 的 子序列 中 t 出现的个数，结果需要对 109 + 7 取模。
示例 1：
输入：s = "rabbbit", t = "rabbit"输出：3解释： 如下所示, 有 3 种可以从 s 中得到"rabbit" 的方案。rabbbitrabbbitrabbbit
示例 2：
输入：s = "babgbag", t = "bag"输出：5解释： 如下所示, 有 5 种可以从 s 中得到"bag" 的方案。babgbagbabgbagbabgbagbabgbagbabgbag
提示：
1 <= s.length, t.length <= 1000s和t由英文字母组成
动态规划思路：
-
定义
dp[i][j]为以s的第i-1个字符结尾的子序列中出现以t的第j-1个字符结尾的子序列的个数。 -
初始状态：
- 当
t为空字符串时，s的任何子串都可以与之匹配，因此dp[i][0] = 1。 - 当
s为空字符串时，无论t如何都无法匹配，因此dp[0][j] = 0。这一步其实在代码中被默认初始化为 0，因此省略了这一步的实际操作。
- 当
-
状态转移方程：
- 当
s[i - 1] == t[j - 1]时，即s的第i-1个字符与t的第j-1个字符相等，此时dp[i][j]可以由两部分得到：- 不考虑
s[i-1]和t[j-1]的情况，即dp[i-1][j]。 - 考虑
s[i-1]和t[j-1]的情况，即dp[i-1][j-1]。因为此时s的第i-1个字符与t的第j-1个字符匹配，所以这种情况下dp[i][j]的数量应该加上以s的第i-2个字符结尾的子序列中以t的第j-2个字符结尾的子序列的数量。 -
还要考虑 不用s[i - 1]来匹配，都相同了指定要匹配啊。
例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不用s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。
当然也可以用s[3]来匹配，即：s[0]s[1]s[3]组成的bag。
所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
- 不考虑
- 当
s[i - 1] != t[j - 1]时，即s的第i-1个字符与t的第j-1个字符不相等，此时dp[i][j]只能由dp[i-1][j]得到。当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配（就是模拟在s中删除这个元素），即：dp[i - 1][j]
所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];
- 当
-
最后返回
dp[s.size()][t.size()]，即s和t的完全匹配的子序列数量。
代码：
class Solution {
public:
int numDistinct(string s, string t) {
// 创建一个二维向量 dp，用于存储状态
vector<vector<uint64_t>> dp(s.size() + 1, vector<uint64_t>(t.size() + 1));
// 初始化 dp，当 t 为空字符串时，s 的子串都可以与 t 匹配，所以为 1
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
// 当 s 为空字符串时，无论 t 如何都不能匹配，所以为 0（默认初始化时已为 0，此处可省略）
for (int j = 1; j < t.size(); j++) dp[0][j] = 0;
// 动态规划计算
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
// 如果 s 的第 i 个字符等于 t 的第 j 个字符
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
// 当前状态可以由前一个状态和前一个状态减去 s 的第 i 个字符 的状态得到
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
} else {
// 当前状态可以由前一个状态得到
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
// 返回 s 和 t 的匹配数
return dp[s.size()][t.size()];
}
};
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