题目：62.不同路径

一个机器人位于一个m*n网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start”）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？

题目链接/讲解链接：
https://programmercarl.com/0062.%E4%B8%8D%E5%90%8C%E8%B7%AF%E5%BE%84.html

解题

动态规划五部曲。
1、确定dp数组和下标的含义。
这道题需要定义的二维的dp数组。
dp[i][j]：表示从（0，0）出发，到(i, j)有dp[i][j]条不同的路径。
2、确定递推公式。
想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i -1][j]和dp[i][j -1]。
dp[i -1][j]表示的是，从(0,0）的位置到(i -1, j)有几条路径，dp[i][j -1]同理。
因此可得：

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。

3、dp数组的初始化
二维dp数组的初始化，针对的是第一行和第一列，
dp[i][0]一定都是1，因为从(0,0）的位置到(i0）的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。
4、确定遍历顺序
递推公式dp[i][j] = dp[i -1][j] + dp[i][j -1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了
5、举例推导dp数组。如下图所示：

解题

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

题目：63.不同路径 II

一个机器人位于一个m*n网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start”）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用1和0来表示。

题目链接/讲解链接：
https://programmercarl.com/0063.%E4%B8%8D%E5%90%8C%E8%B7%AF%E5%BE%84II.html

思路

这道题比上一道题多了一个障碍物。
动态规划五部曲。
1、确定pd数组和下标的含义。
dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径
2、确定递推公式
因为多了障碍物，所以多了限制条件。
当（i,j）有障碍物的时候，递推公式就不满足。因此，

if (obstacleGrid[i][j] == 0) { // 当(i, j)没有障碍的时候，才能推导dp[i][j]
    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}

3、初始化pd数组
初始化的方式和上题一样。
但如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。dp[0][j]同理。
因此，初始化代码为：

vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) dp[0][j] = 1;

4、确定遍历顺序。
遍历顺序和之前相同，但遇到障碍物时，后面的路就走不通了，就结束本次遍历进入下一次。
5、举例推导dp数组

解题

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();
	if (obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1 || obstacleGrid[0][0] == 1) //如果在起点或终点出现了障碍，直接返回0
            return 0;
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) dp[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};