一、柔性作业车间调度问题

柔性作业车间调度问题（Flexible Job Shop Scheduling Problem，FJSP），是一种经典的组合优化问题。在FJSP问题中，有多个作业需要在多个机器上进行加工，每个作业由一系列工序组成，每个工序需要在特定的机器上完成。同时，每个机器一次只能处理一个工序，且每个工序的处理时间可能不同。

FJSP问题的目标是找到一个最优的作业调度方案，使得所有作业的完成时间最小化。这个问题的难点在于需要考虑到多个作业、多个机器和多个工序之间的复杂关系，并且需要在有限的时间内找到最优解。

解决FJSP问题的方法包括启发式算法、精确算法和元启发式算法等。启发式算法通过一系列规则和策略来生成调度方案，常见的方法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。精确算法则通过穷举搜索或者动态规划等方法来找到最优解，但在实际应用中可能面临计算复杂度过高的问题。元启发式算法则结合了多种启发式算法和精确算法的优点，通过组合不同的方法来求解FJSP问题。
FJSP问题的难点主要体现在以下几个方面：

1. 组合爆炸：FJSP问题中，每个工件都有多个工序需要完成，而每个工序都有多个可选的机器可以执行。这导致了组爆炸的问题，可能的调度方案数量非常庞，难以穷举所有可能性。

2. 优化目标多样：FJSP问题通常有多个优化目标，如最小化总加权完成时间、最小化总延迟时间等。这些目标之间可能存在冲突，使找到一个全局最优解变得困难。

3. 资源约束：FJSP问题中，每个机器在同一时间只能执行一个工序，且每个工序需要一定的时间和资源。这些资源约束增加了问题的复杂性，需要在满足约束条件的前提下进行调度。

4. 实时性要求：在实际生产中，FJSP问题通常需要考虑实时性要求，即要求在有限的时间内生成一个可行的调度方案。这增加了问题的难度，需要在有限时间内找到一个较优的解。

柔性作业车间调度问题( FJSP) 的描述如下：n个工件 { J , J 2 , . . , J n } \{J,J_2,..,J_n\} {J,J2​,..,Jn​}要在$m$ 台机器 { M 1 , M 2 , . . , M m } \{M_1,M_2,..,M_m\} {M1​,M2​,..,Mm​} 上加工。每个工件包含一道或多道工序，工序顺序是预先确定的，每道工序可以在多台不同加工机器上进行加工，工序的加工时间随加工机器的不同而不同。调度目标是为每道工序选择最合适的机器、确定每台机器上各个工序的最佳加工顺序以及开工时间，使整个系统的某些性能指标达到最优。因此，柔性作业车间调度问题包含两个子问题：确定各工件的加工机器 (机器选择子问题) 和确定各个机器上的加工先后顺序 (工序排序子问题)。

此外，在加工过程中还需要满足下面的约束条件：
(1) 同一台机器同一时刻只能加工一个工件；
(2) 同一工件的同一道工序在同一时刻只能被一台机器加工；
(3) 每个工件的每道工序一旦开始加工不能中断；
(4) 不同工件之间具有相同的优先级；
(5)不同工件的工序之间没有先后约束，同一工件的工序之间有先后约束；
(6)所有工件在零时刻都可以被加工。

1.1符号描述

$n:$工件总数；
$m:$ 机器总数；
$i,e:$ 机器序号，$i,e=1,2,3,...,m$ ;
$j,k:$ 工件序号，$j,k=1,2,3,...,n;$ $h_j:$工件$j$ 的工序总数；
$h,l:$ 工序序号，$h=1,2,3,...,h_j$ ;
${\Omega }_{jh}:$工件$j$ 的第$h$ 道工序的可选加工机器集；
$m_{jh}:$工件$j$ 的第$h$ 道工序的可选加工机器数；
$O_{jh}:$工件$j$ 的第$h$道工序；
$M_{ijh}:$工件$j$ 的第$h$道工序在机器$i$ 上加工；
$p_{ijh}:$工件$j$的第$h$道工序在机器$i$上的加工时间；
$s_{jh}:$工件$j$ 的第$h$ 道工序加工开始时间；
$c_{jh}:$工件$j$的第$h$道工序加工完成时间；
$d_j:$工件$j$ 的交货期；
$L$: 一个足够大的正数；
$C_j$: 每个工件的完成时间；
$C_{\max }:$ 最大完工时间；
$T_o:T_o={\sum }_{j=1}^n{h}_j$, 所有工件工序总数；
$x_{ijh}=\{\begin{array}{l}1,\text{如果工序}{O}_{jh}\text{选择机器}i;\\ 0,\text{否则；}\end{array}$
$y_{ijhkl}=\{\begin{array}{l}1,\text{如果}{O}_{ijh}\text{先于}{O}_{ikl}\text{加工};\\ 0,\text{否则};\end{array}$

1.2约束条件

$C_1:s_{jh}+x_{ijh}\times p_{ijh}\le c_{jh}$

其中：$i=1,\dots ,m;j=1,\dots ,n;$ $h=1,\dots ,h_j$
$C_2:c_{jh}\le s_{j(h+1)}$
其中$:j=1,\dots ,n;h=1,...,h_j-1$
$C_3:c_{j{h}_j}\le C_{\max }$
其中：$j=1,...,n$
$C_4:s_{jh}+p_{ijh}\le s_{kl}+L(1-y_{ijhkl})$

其中$:j=0,\dots ,n;k=1,\dots ,n;h=1,\dots ,h_j;l=1,\dots ,h_k;i=1,\dots ,m$
$C_5:c_{jh}\le s_{j(h+1)}+L(1-y_{iklj(h+1)})$

其中$:j=1,\dots ,n;k=0,\dots ,n;h=1,\dots ,h_j-1;l=1,\dots ,h_k;i=1,\dots ,m$
$h_1:{\sum }_{i=1}^{m_{jh}}{x}_{ijh}=1$
其中：$h=1,...,h_j;j=1,...,n;$

$h_2:{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{h=1}^{h_j}{y}_{ijhkl}=x_{ikl}$

其中：$i=1,\dots ,m;k=1,\dots ,n;l=1,\dots ,h_k$
$h_3:{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{i=1}^{n_k}{y}_{ijhkl}=x_{ijh}$

其中：$i=1,\dots ,m;j=1,\dots ,n;h=1,\dots ,h_k$
$C_6:s_{jh}\ge 0,c_{jh}\ge 0$

其中$:j=0,1,...,n;h=1,...,h_j$

$C_1$和 $C_2$表示每一个工件的工序先后顺序约束 ;
$C_3$表示工件的完工时间的约束,即每一个工件的完工时间不可能超过总的完工时间 ;
$C_4$和 $C_5$表示同一时刻同一台机器只能加工一道工序 ;
$h_1$表示机器约束,即同一时刻同一道工序只能且仅能被一台机器加工;
$h_2$和 $h_3$表示存在每一台机器上可以存在循环操作 ;
$C_6$表示各个参数变量必须是正数。

1.3目标函数

FJSP的目标函数是最大完工时间最小。完工时间是每个工件最后一道工序完成的时间，其中最大的那个时间就是最大完工时间(makespan)。它是衡量调度方案的最根本指标， 主要体现车间的生产效率，如下式所示：

$f=\min ({\max }_{\mathrm{l}\le j\le n}(C_j))$

参考文献：
[1]张国辉.柔性作业车间调度方法研究[D].华中科技大学,2009.

二、算法简介

美洲狮优化算法（Puma Optimizar Algorithm ，POA）由Benyamin Abdollahzadeh等人于2024年提出，其灵感来自美洲狮的智慧和生活。在该算法中，在探索和开发的每个阶段都提出了独特而强大的机制，这提高了算法对各种优化问题的性能。此外，该算法还提出了一种新型的智能机制，即相变的超启发式机制（PI），使用这种机制，PO算法可以在优化操作期间执行相变操作，并平衡探索和开发，同时探索和开发都会根据问题的性质自动调整。

参考文献：

[1]Abdollahzadeh, B., Khodadadi, N., Barshandeh, S. et al. Puma optimizer (PO): a novel metaheuristic optimization algorithm and its application in machine learning. Cluster Comput (2024). Puma optimizer (PO): a novel metaheuristic optimization algorithm and its application in machine learning | Cluster Computing
原文链接：https://blog.csdn.net/2401_82411023/article/details/136609644

三、算法求解FJSP

3.1部分代码

dim=2*sum(operaNumVec);
LB = -jobNum * ones(1, dim);
UB = jobNum * ones(1, dim);
Max_iteration = 100;
SearchAgents_no = 100;
fobj=@(x)fitness(x, MachineNum,jobNum,jobInfo,operaNumVec,candidateMachine);

%% 优化算法求解FJSP
[fMin , bestX, Convergence_curve ] = POA(SearchAgents_no,Max_iteration,LB,UB,dim,fobj);
machineTable=GetMachineTable(bestX, MachineNum,jobNum,jobInfo,operaNumVec,candidateMachine);

%% 画收敛曲线图
figure
plot(Convergence_curve,'r-','linewidth',2)
xlabel('迭代次数')
ylabel('最大完工时间')
legend('POA')
saveas(gca,'1.jpg');

3.2部分结果

四、完整MATLAB代码