本篇为西安交通大学本科课程《电力设备设计原理》的笔记。

本篇为这一单元的第二篇笔记。上一篇传送门。

电力设备传导换热

主要讨论稳态导热的计算。

通过单层和多层平壁的传导

如上图所示的大平板是一维传导问题，流过平板的热流量和平板两侧温度和平板厚度之间的关系式为：
$$\varphi =\lambda A\frac{T_1-T_2}{\delta }$$

如果根据实验测得了流过平面的热流量、平板两侧的温度以及平板的厚度，就可以根据公式求出材料的导热系数：
$$\lambda =\frac{\varphi }{A}\frac{\delta }{T_1-T_2}=\frac{q\delta }{T_1-T_2}$$

导热系数是物质的固有性质，跟所处的温度以及压力无关，与材料形状无关。

下面讨论在第一类边界条件下，通过大平壁的传导问题。近似可以认为这是一位的稳态传导问题，没有内热源，壁的厚度是$\delta$，壁的左右两边的温度恒定为$T_1,T_2$，希望求解平壁的温度分布以及热流密度。

根据传导的微分方程，这种情况下使用的是拉普拉斯方程，且只有一个维度：
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}T}{\mathrm{d}{x}^2}=0$$

写出边界条件为：
$$\begin{gathered} T=T_1,x=0 \\ T=T_2,x=\delta \end{gathered}$$

对微分方程积两次分可得：
$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=C_1 \\ T=C_{1}x+C_2 \end{gathered}$$

带入边界条件得到：
$$\begin{gathered} C_1=\frac{T_2-T_1}{\delta } \\ {C}_2=T_1 \end{gathered}$$

所以微分方程的解为：
$$T=\frac{T_2-T_1}{\delta }x+T_1$$

由此可见，大平壁的温度分布是线性的，温度的梯度是常数，由傅里叶定律可得：
$$q=-\lambda \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=\frac{\lambda }{\delta }(T_1-T_2)=\frac{\lambda }{\delta }\Delta T$$
热流密度跟x坐标无关，是一个恒定值。

设热流方向上平壁的横截面积为A，那么通过平壁的总热流量为：
$$\begin{array}{c}\varphi =\frac{\lambda A}{\delta }\Delta T\end{array}$$

所以可以根据上(2)式导出材料的导热系数的求法：
$$\lambda =\frac{\varphi \delta }{A\Delta T}$$

也可以把上(2)式写成热阻的形式：
$$\varphi =\frac{\Delta T}{R}$$

其中，$R=\frac{\delta }{\lambda A}$是传导热阻。

对于多层平壁的传导问题，可以把每一层当做一个热阻，然后将多个热阻串联在一起，求出热流密度。

如上图所示，根据每一层的参数，求出每一层的热阻：
$$R=\frac{\delta }{\lambda }$$

算出总的热阻：
$$R_A=\frac{{\delta }_1}{{\lambda }_1}+\frac{{\delta }_2}{{\lambda }_2}+\frac{{\delta }_3}{{\lambda }_3}$$

热流密度是：
$$q=\frac{\Delta T}{R_A}=\frac{T_1-T_4}{\frac{{\delta }_1}{{\lambda }_1}+\frac{{\delta }_2}{{\lambda }_2}+\frac{{\delta }_3}{{\lambda }_3}}$$

可以求出每一个平壁内的温度分布，$\Delta T=qR$，可见温度分布是分段线性的。

接触热阻

固体表面之间不可能真正完全的接触，表面的接触仅是发生在一些离散的接触面或点上，只有这些地方上的温度才是相等的，其他没有接触到的地方会出现温度差，他们之间的空隙充满了气体或其他的介质，而这些介质的导热率远远小于固体，所以会对两个固体间的传导过程产生附加的热阻，称之为接触热阻$R_c$，使得接触面之间会出现温差$\Delta T_c=\varphi R_c$。

为了减小接触热阻，可以尽量抛光接触面，加大压力，还可以在接触面之间加上一层导热率很大的、硬度小的纯铜箔或银箔，或者是直接涂一层传导油。

通过圆筒壁的传导

如上图所示，为一个同轴电缆的导电层，以此为示例讨论第一类边界条件下，通过圆筒壁的传导。当圆筒长度远大于半径，就可以近似为沿着半径方向的一维稳态传导问题。内外半径是$r_1,r_2$，内外两个壁的温度是均匀且恒定的，分别为$T_1,T_2$，没有内热源。

使用圆柱坐标下的拉普拉斯方程：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right)=0$$

边界条件式：
$$\begin{gathered} T=T_1,r=r_1 \\ T=T_2,r=r_2 \end{gathered}$$

对微分方程积两次分可得：
$$T=C_1\ln r+C_2$$

带入边界条件之后可得：
$$\begin{gathered} C_1=\frac{T_2-T_1}{\ln (r_2/r_1)} \\ {C}_1=T_1-\frac{T_2-T_1}{\ln (r_2/r_1)}\ln r_1 \end{gathered}$$

将常数带入通解可得结果：
$$T=T+\frac{T_2-T_1}{\ln (r_2/r_1)}\ln \frac{r}{r_1}$$

可以见得，沿着圆柱筒壁的温度分布不是线性的，而是一个对数函数曲线。其斜率可以求导得到：
$$T^{\prime }=\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=\frac{T_2-T_1}{r\ln (r_2/r_1)}$$

根据傅里叶定律可得流过圆柱筒壁的热流密度是：
$$q=\frac{\lambda (T_2-T_1)}{r\ln (r_2/r_1)}$$

可见热流密度不是一个常数，而是随着r坐标的变化而变化，可以计算出单位高度下，流过整个圆柱筒壁的总热流量为：
$$\varphi =q2\pi r=\frac{2\pi \lambda (T_2-T_1)}{\ln (r_2/r_1)}$$

总热流量与位置坐标无关。

具有内热源的平板传导

上图所示为一个存在涡流的大块导体，现讨论具有内热源的通过平壁的传导问题，设其内部有着均匀的内热源$\dot{\varphi }$，表面的传热系数是h，下面计算温度的分布：

因为对称性，所以可以只用研究平板的一半厚，写出有内热源的微分方程：
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}T}{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{\dot{\varphi }}{\lambda }=0$$

确定边界条件：
$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=0,x=0 \\ -\lambda \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=h(T-T_f),x=\delta \end{gathered}$$
在$x=0$的边界条件，是根据对称性，对称的左右双方不会之间传递热量，为第二类边界条件。在$x=\delta$的边界条件，即固体和外界流体之间的热流量等于固体内部所给的热量，为第三类边界条件。

对微分方程积两次分并带入边界条件可得解：
$$T=-\frac{\dot{\varphi }}{2\lambda }({\delta }^2-x^2)+\frac{\dot{\varphi }\delta }{h}+T_f$$
温度分布是抛物线。

热流密度也可以求出：
$$q=-\lambda \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=\dot{\varphi }x$$
课件热流密度不是常数，而是跟坐标x有关的函数。

具有内热源的圆柱体传导

如上图所示，为一个存在涡流的圆柱导体。半径是$R_1$，具有均匀的内热源$\dot{\varphi }$，导热系数是$\lambda$，外表面温度是均匀且恒定的，为$T_1$。

列出圆柱坐标下的，带热源的微分方程。
$$\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right)+\frac{\dot{\varphi }}{\lambda }=0$$

写出边界条件：
$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=0,r=0 \\ T=T_1,r=r_1 \end{gathered}$$
在$r=0$的边界条件，是根据对称性得到的，为第二类边界条件。在$r=r_1$的边界条件，是第一类边界条件。

对微分方程两端乘r并积一次分，可得：
$$\begin{gathered} r\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}+\frac{1}{2}\frac{\dot{\varphi }}{\lambda }{r}^2=C_1 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}+\frac{1}{2}\frac{\dot{\varphi }}{\lambda }r=\frac{C_1}{r} \end{gathered}$$

根据在$r=0$的边界条件，可得到$C_1=0$，所以对上式在积一次分：
$$T=-\frac{1}{4}\frac{\dot{\varphi }}{\lambda }{r}^2+C_2$$

根据在$r=r_1$的边界条件，带入得：
$$C_2=T_1+\frac{1}{4}\frac{\dot{\varphi }}{\lambda }{r}_1^2$$

然后把常数带入通解内，可得温度分布的结果：
$$T=\frac{1}{4}\frac{\dot{\varphi }}{\lambda }(r_1^2-r^2)+T_1$$

最高温度出现在圆心处，即$r=0$：
$$T_{\max }=\frac{1}{4}\frac{\dot{\varphi }}{\lambda }{r}_1^2+T_1$$

电力设备对流换热

对流换热是导热和热对流同时存在的热传递过程，流体和壁面必须有直接的接触和宏观的运动，同时也必须有温差。

对流换热系数的影响因素

对流传热过程的影响因素有：流体流速$u$、流体密度$\rho$、动力粘度$\eta$、导热系数$\lambda$和定压比热容$c_p$。写成函数为：
$$h=f(u,\rho ,\eta ,\lambda ,c_p,l,\dots )$$
其中，l是换热便面的一个特征长度。

流体流动的起因

流体运动可以分为强迫对流和自然对流。

1. 强迫对流：因为泵和风机等外部的动力源引起的对流。
2. 自然对流：因为流体内部存在的密度差。

流体的流动状态

状态有层流和湍流。

1. 层流：流体微团沿着主要流动的方向做着有规律的分层运动。
2. 湍流：流体内部的速度脉动使得流体微团之间发生着剧烈的混合。

湍流时候的换热系数要大于层流时候的。

流体的物理性质

流体的物理性质通常和温度以及压力有关，在低流速和流体壁面小的温差时，可认为物性是常数。

换热表面的几何因素

指的是换热表面的形状、大小、换热表面和流体流动方向的相对位置和换热表面的粗糙程度等。不同条件下的换热规律是不同的。

流体有无相变

流体无相变的时候，对流换热的热量传递是以显热的变化而实现的。在有相变的换热过程中，例如沸腾和凝结，流体相变潜热的释放或吸收通常发挥着重要的作用。

流动边界层及边界层动量方程

流动边界层及其厚度的定义

粘滞性起作用的区域仅仅局限在靠近壁面的薄层内，在这个薄层之外，由于速度梯度很小，粘滞性造成的切应力可以忽略不计，所以这个区域内的流体流动可以认为是理想流体的无旋流动。

在这个黏滞力可以忽略的薄层之内，可以从动量守恒方程得到不少粘性流动问题的分析解。这种在固体表面附近流体速度发生剧烈变化的薄层叫做流动边界层，也叫做速度边界层。

如下图所示为产生流动边界层的常见情形。

如下图所示为上图沿着虚线部分展开的剖视图。

从点$y=0,u=0$开始，流体的速度随着距离平壁面的距离的增大而急剧增大，经过一个薄层之后u增长到接近主流速度。这个薄层就是流动边界层，其厚度根据规定的接近主流速度程度的不同而不同。一般规定达到主流速度的99%处的距离y就是流动边界层的厚度，记作$\delta$。

流动边界层内的流态

存在层流和断流两种流态。

下图中，图a是管内流速很低，观察到的染色线是一条直线。图b到c是管内流速增加，染色线完全破碎，流体质点做出无规则的随机运动。而层流到湍流之间存在过渡过程，并非是一瞬间完成的。

层流过渡到湍流的原因十分复杂，一般可以理解是由于扰动的存在和发展扩大，使得层流失去稳定性而引起湍流。

产生扰动的因素是多种多样的。扰动的扩大或受到阻尼而消失，主要是取决于惯性力和粘性力的相互作用。惯性力使得扰动扩大，粘性力阻止了扰动的发展。反应了惯性力和粘性力的相互作用关系的准则是雷诺数$Re$，计算公式为：
$$Re=\frac{u_{\inf }x}{\eta }$$
其中，$\eta$是流体运动粘度，$u_{\inf }$是流体流速。

流体在外掠平壁的时候，从导边前缘开始时层流区。当雷诺数达到一定的数值之后就逐渐过渡到湍流区域，这个临界值被称为临界雷诺数$R{e}_{cr}$。在湍流的边界层之中，紧邻壁面的一薄层流体的内层流仍然占据着主导的地位，层职位层流底层，经过缓冲池的过渡到达湍流核心层。

层流向着湍流的过渡有几个特征：

1. 边界层厚度迅速增加。
2. 速度分布较层流时的更平坦。
3. 边界层的位移厚度与动量厚度之比急剧下降。

流体边界层内的动量方程

层流边界层内粘性流体的稳态动量方程可以简化为：
$$u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}+v\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$$

应当指出，边界层类型的流动仅当流体不脱离固体表面时才存在，流体如果离开表面之后形成了旋涡，边界层的概念将不再适用，应当采用完全的动量守恒方程来描述。

基本对流换热及相似理论

对流换热可以分为：单相流体换热、相变换热等。相同形式和内容的数学方程所描述的现象称为同类现象，而同类现象中，那些对应的同名物理量之间互成比例的现象叫做相似现象。

相似现象之间有以下的内在联系：

1. 用相同形式和内容的方程组来描述。
2. 对应同名物理量之间互成比例。
3. 同名相似准则相等。

这里以流体和固体表面间的对流换热现象来说明：

• 自然对流时流体温度分布的特点是：在壁面等于固体壁面温度，沿着离开壁面的方向流体温度逐渐降低，最终等于周围环境流体的温度。
• 流体速度的分布特点是：在壁面处为零，而在距离壁面很远的地方也是零，中间的偏向壁面的地方有一个速度的最大值。

如上图所示，y=0平面是固体的壁面，y>0的区域就是流体区域，在固体壁面上按照牛顿冷却定律，可以写出如下的h和温度场的关系：
$$h(T_w-T_f)=-\lambda \left(\frac{\partial T}{\partial y}\right){|}_{y=0}$$

其中，$T_w$是壁面的温度，$T_f$是水流体的温度，$\lambda$是导热系数。

现在把$(T_w-T_f)$当做温度的标尺，以换热壁面的某一个特征性尺寸$l$作为长度的标尺，把上式化成无量纲的形式：
$$\frac{hl}{\lambda }=\frac{\partial [(T_w-T)/(T_w-T_f)]}{\partial (x/l)}{|}_{y=0}$$

根据前面所说的相似现象的定义，其无量纲的同名物理量的场是相同的，所以无量纲的梯度也是相等的。上式右端是无量纲温度场在壁面上的梯度，因面对两个相似的对流换热现象1和2，应有：
$${\left(\frac{hl}{\lambda }\right)}_1={\left(\frac{hl}{\lambda }\right)}_2$$

其中$\frac{hl}{\lambda }$是努塞尔数$Nu$。所有相似的对流换热现象的$Nu$数的值都是相等的，所以可以通过$Nu$数求h。

除此之外还可以导出无量纲的特征数普朗特数$Pr$，这是研究稳态无相变对流换热问题常用的特征数。

对流换热问题中，应用量纲的分析法可以把对流换热系数h变换为对流换热特征数方程，即努塞尔$Nu$数和雷诺$Re$数、普朗特$Pr$数的关系:
$$Nu=f(Re,Pr)$$

层流对流换热

这种情况各部分之间的换热是依靠导热方式，所以比较缓慢。自然的对流会造成扰动，加强换热。

如下图所示为两块平行的大平板，其中下面这一块不动，上面这一块以速度U向右移动，上下两块板的温度不同，但恒定不变，板间充满了流体。

对于不可压缩流体，其速度矢量的散度为零，而且满足动量守恒和能量守恒。
$$\begin{gathered} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0 \\ \rho \left(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}\right)=-\frac{\partial \rho }{\partial x}+\eta \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2} \\ \rho c_p\left(u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y}\right)=\lambda \frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\eta {\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2 \end{gathered}$$

上述公式中，$\eta {\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2$说明微元流体控制表面上的法向切应力和剪切应力因流体的位移产生摩擦功而变成热能。

湍流对流换热

湍流发生时，因为流体的质点做不规则运动，流畅中各种量随着时间和空间发生紊乱的变化，导致管中心和边壁的温差小，换热效率更高。场采用的手段有：

1. 选用导热率比较大的流体。
2. 加大流动速度，提高湍流的流度。
3. 使用螺旋管、螺旋板等，增强流体的扰动。
4. 湍流换热较弱的一侧采用肋片、翅片，增大换热面积和扰动度。

电力设备辐射换热

具体设计中，表面间的辐射换热和辐射换热系统的辐射特性、几何形状以及表面温度的分布等因素关系密切。

辐射换热器有：

1. 圆筒式辐射换热器。
2. 铁屑圆筒辐射换热器。