题目描述
小蓝最近在学习二进制。他想知道 1 到 N 中有多少个数满足其二进制表示中恰好有 K 个 1。你能帮助他吗？
输入描述
输入一行包含两个整数 N 和 K。
输出描述
输出一个整数表示答案。
输入输出样例
示例
输入
7 2
输出
3
评测用例规模与约定
对于 30% 的评测用例，1 ≤ N ≤ 10^6,1 ≤ K ≤ 10。
对于 60% 的评测用例，1 ≤ N ≤ 2×10^9,1 ≤ K ≤ 30。
对于所有评测用例，1 ≤ N ≤ 10^18,1 ≤ K ≤ 50。
解题思路
这道题大致的问题就是给定一排位置，填或者不填的问题，我们可以考虑使用数位dp的思想。
对于n个位置填k个1的方案数量是典型的排列组合，虽然K的值最高只有50，计算排列组合也是可以实现的，但这里我们综合考虑使用帕斯卡公式，即
于是我们可以定义dp[i][j]：在长度为 i 的二进制序列中填 j 个 1 的组合数。
帕斯卡公式的证明就是这道题的原理，即n个数中取m个元素的组合数——包含第一个数不取，在剩下的n-1个数中取m个数；和第一个数取，在剩下n-1个数中取m-1个数的总和。
题目要求统计包含K个1的二进制数的数量，以N的二进制为1011，取k=3为例，我们可以将1011分解为以下几个区间考虑：0000~0111、1000~1001、1010~1010、1011。
这样分的理由是，第一个数不填1，考虑剩下3个位置填3个1的方法总数，这不就正好是在000~111这个长度为3的二进制序列中填3个1的排列总数吗，即dp[3][3]。
那么比111更大的数即代表着第一个数一定填1，在第二个区间中，我们是在第一个数填1的情况下，考虑第三个数不填1的排列数，即剩下1个位置填2个1满足要求——dp[1][2]。
第三个区间考虑在第一个位置和第三个位置都填1的情况下，第四个位置不填1的情况，那么就要加上在剩下0个位置填1个1的组合数——dp[0][1]。
最后还剩一个单独的1011，其目的是要留着特判，因为我们前面一直都是在遇到1的情况下考虑这个位置不填1有多少种满足要求的可能性，那么我们就会漏掉最后一个位置填1的情况没有计算，在最后一个位置填1，并且刚好满足k个1的时候，就需要增加一种组合数。
根据上述逻辑，此数据的答案即为：dp[3][3] + dp[1][2] + dp[0][1] + 1 = 1 + 0 + 0 + 1 = 2种
import java.util.*;
import java.io.*;
public class Main {
static long n;
static int k;
static long[][] dp;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextLong();
k = sc.nextInt();
init();
System.out.println(solve(n));
}
public static long solve(long n) {
char[] s = Long.toBinaryString(n).toCharArray();
long ans = 0;
// ones 用于记录已经填的1的数量
int ones = 0;
for (int i = 0; i < s.length; i++) {
int po = s.length - i;
if (s[i] == '1') {
// 先考虑位置po不填1的可能性
ans += dp[po - 1][k - ones];
// 然后填上一个1并记录
ones++;
// 由于在ones等于k的时候还有一次后续什么都不填的可能性，即dp[xxx][0] = 1
// 所以只在填超了以后才break
if (ones > k) {
break;
}
}
// 如果最后一位刚好填够k个1，会漏计算1种情况，需要补上
if (po == 1 && ones == k) {
ans++;
}
}
return ans;
}
public static void init() {
dp = new long[65][65];
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i < 65; i++) {
for (int j = 0; j <= i; j++) {
if (j == 0) {
dp[i][j] = 1;
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1];
}
}
}
}
}
