B样条曲线(记录)

news2024/11/26 14:43:33

B样条曲线的生成靠的两点：

1、控制点

2、基函数

B样条曲线的基函数是一个De Boor的递归表达式[1]：

$B_{i},_{0}(u)=\left\{\begin{matrix} 1, u_{i}\leqslant u\leqslant u_{i+1}\\0, otherwise \end{matrix}\right.$ (1)

$B_{i},_{d}(u)=\frac{u-u_{i}}{u_{i+d}-u_{i}}B_{i},_{d-1}(u)+\frac{u_{i+d+1}-u}{u_{i+d+1}-u_{i+1}}B_{i+1},_{d-1}(u)$ (2)

其中 $B_{i},_{d}(u)$ 是第 $i$ 个 $d$ 阶基函数。

而B样条曲线可以表示为[2]：

$P(u)=\sum_{i=0}^{n}p_{i}B_{i},_{d}(u)$ (3)

如何理解上式？首先，我们知道，如果一个函数在定义域内处处可微(处处连续)，则可以通过被泰勒展开成一个多项式级数。换言之，只要阶数足够，对于任意的连续可微曲线，都可以用一个多项式去逼近。B样条曲线的表达式就是一个 $d$ 阶多项式。它的定义域通过节点区间来表示[1][2]。

接下来，我们通过一个简单的例子来逐步理解B样条曲线。

我们以3个控制点的B样条曲线为例。其表达式为：

$P(u)=p_{0}B_{0},_{d}(u)+p_{1}B_{1},_{d}(u)+p_{2}B_{2},_{d}(u)$

现在我们来看一下上式的3个基函数。由式(2)，我们可知 $d-1$ 阶的基函数如下图：

$d-1$ 阶基函数的个数为： $3\cdot 2-2=4$ ，简单归纳一下：

设 $N$ 为控制点的个数，则 $d$ 阶的基函数个数也为 $N$ ，而 $d-1$ 阶的基函数个数为： $N\cdot 2-(N-1)=N+1$ 。即低一阶的基函数个数是高一阶加一。则 $0$ 阶的基函数的个数为：

$\left ( \left ( \left ( \left ( \left ( N \right )+1 \right )+1 \right )+1 \right )+...+1 \right )=N+d$ 。

另外，对于多项式的阶，必须小于已知数据点数的个数。于是我们设 $d=N-1$ 。则 $0$ 阶的基函数个数为 $2N-1$ ，为奇数。

接下来，我们来看看节点区间。对于 $0$ 阶基函数，一个基函数对应一个节点区间。所以节点区间的个数，我们以3个 $0$ 阶基函数为例：

为3个区间，共计4个节点，也即节点数为0阶基函数个数加一，即 $2N$ 个节点。

另外，当我们选取一个参数 $u$ 时，由于节点区间不相交，所以我们由式(1)可知0阶基函数，由且只有一个基函数的值为1。其余皆为0。考虑如下情况：

当 $u$ 取在区间 $[u_{i},u_{i+1})$ 时，我们可以发现在1阶基函数，所有基函数相机等于1。因为0阶基函数只有一个起作用，而其余基函数的值为0.递推到1阶，所有1阶基函数，变为2个基函数起作用。而这两个基函数相加： $B_{i-1},_{1}(u)+B_{i},_{1}(u)=\frac{u_{i+1}-u}{u_{i+1}-u_{i}}B_{i},_{0}(u)+\frac{u-u_{i}}{u_{i+1}-u_{i}}B_{i},_{0}(u)=B_{i},_{0}=1$ 。

同理，到了2阶基函数，我们可以得到：

$B_{i-2},_{2}(u)+B_{i-1},_{2}(u)=B_{i-1},_{1}(u)$ $B_{i-1},_{2}(u)+B_{i},_{2}(u)=B_{i},_{1}(u)$

也即2阶基函数相加也等于1。以此类推，我们得出一个结论，d阶基函数相加等于1。

现在来考虑如下的递归过程。假设我们有4个控制点，阶数 $d=3$ 。于是基函数的传递如下：

假如我们把u取在 $[u_{0},u_{1})$ 内，则 $B_{0},_{0}=1$ ，而其余0阶基函数为0。按照以上的结论，我们知道

$B_{0},_{0}(u)=B_{-1},_{1}(u)+B_{0},_{1}(u)=1$ ，而实际上，没有 $B_{-1},_{1}(u)$ 。于是到了1阶，基函数之和不等于1。而且每进一阶，基函数之和都会有损失。

同时，我们还希望，当u取 $u=u_{0}$ 或者 $u=u_{2n-1}$ 时，曲线与控制点0或者控制点n重合。换句话说，就是曲线在端点处与控制点重合，也即 $B_{0},_{3}(u)=1$ ，而其余3阶基函数等于0。很明显， $u=u_{0}$ 无法使以上条件成立。为了实现以上条件，必须解决基函数之和损失的问题。那么u就必须取在区间 $[u_{3},u_{4})$ 内。当 $u=u_{3}$ 时，递归到3阶可得 $B_{0},_{3}(u)=1$ ，而其余为0。当 $u=u_{4}$ 时，递归到3阶可得 $B_{3},_{3}(u)=1$ ，而其余为0。因此为了满足基函数之和为1。而且当u取在区间端点时，曲线与控制点重合。我们必须舍弃 $[u_{3},u_{4})$ 之外的区间。这个操作叫“重复度”。具体的操作是令 $u_{3}$ 之前的节点都等于 $u_{3}$ 。而 $u_{4}$ 之后的节点都等于 $u_{4}$ 。也即 $[u_{d},u_{d+1})$ 区间之外，其余区间节点都分别赋值 $u_{d},u_{d+1}$ 。

例如，原本各区间为 $[u_{0}=0,u_{1}=1),[u_{1}=1,u_{2}=2),[u_{2}=2,u_{3}=3),[u_{3}=3,u_{4}=4),[u_{4}=4,u_{5}=5),[u_{5}=5,u_{6}=6),[u_{6}=6,u_{7}=7]$ 。进行“重复度”操作后，节点区间变为： $[u_{0}=3,u_{1}=3),[u_{1}=3,u_{2}=3),[u_{2}=3,u_{3}=3),[u_{3}=3,u_{4}=4),[u_{4}=4,u_{5}=4),[u_{5}=4,u_{6}=4),[u_{6}=4,u_{7}=4]$ ，甚至干脆，我们取 $u_{3}=0,u_{4}=1$ 。