西安石油大学数学建模校赛培训（2）matlab的使用

1.1.MATLAB是什么？

MATLAB是MathWorks公司推出的一套高性能数值分析计算软件，其名字来源于"Matrix Laboratory"（矩阵实验室）的缩写。它将矩阵运算、数值分析、图形处理、编程技术等功能集成在一起，为科学计算、工程设计和数据分析提供了强大的平台。MATLAB的特点包括易于使用的高级编程语言、丰富的数学函数库、强大的绘图和可视化工具以及可扩展性等。因其广泛应用于科学与工程领域，被广大科研人员用作分析、计算、程序设计和仿真的工具。

1.2 MATLAB的强大特性

：
1. 强大的计算功能：MATLAB提供了丰富的数学函数和工具，能够进行高效的数值计算、矩阵操作、线性代数计算、微积分等数学运算。
2. 编程语言简单、内涵丰富：MATLAB的编程语言易于学习和使用，同时拥有丰富的内置函数和工具，方便用户进行快速开发和调试。
3. 强大的2D、3D数据可视化功能：MATLAB提供了强大的绘图和可视化工具，能够制作高质量的2D和3D图形，并对数据进行直观展示和分析。
4. 丰富的工具箱：MATLAB拥有各种各样的工具箱，包括信号处理、图像处理、控制系统、统计分析等领域的工具箱，为用户提供了丰富的功能和算法。
5. 强大的扩展能力、可开发功能：MATLAB具有良好的可扩展性，用户可以通过编写自定义函数、工具箱或者利用MATLAB的可扩展接口进行功能扩展和定制开发。

MATLAB在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：
- 数值分析：MATLAB提供了丰富的数值计算函数和工具，用于解决线性代数、微积分、常微分方程、偏微分方程等数值分析问题。
- 数值和符号计算：除了进行数值计算，MATLAB还支持符号计算，能够处理符号表达式、求解代数方程、进行符号积分等。
- 工程与科学绘图：MATLAB拥有强大的绘图和可视化功能，用于绘制工程和科学领域中的2D和3D图形。
- 控制系统的设计与仿真：MATLAB提供了控制系统工具箱，用于设计、分析和仿真各种控制系统，包括经典控制、现代控制、自适应控制等。
- 数字图像处理：MATLAB的图像处理工具箱提供了各种图像处理函数和算法，用于进行数字图像的处理、分析和算法开发。
- 数字信号处理：MATLAB拥有丰富的数字信号处理工具箱，用于进行数字信号滤波、频谱分析、信号压缩等各种数字信号处理任务。
- 通讯系统设计与仿真：MATLAB提供了通信工具箱，用于设计、分析和仿真各种通信系统，包括调制解调、信道编码、多址接入等。
- 财务与金融工程：MATLAB在财务和金融工程领域也有广泛的应用，用于风险管理、衍生品定价、投资组合优化等方面的建模和分析。

MATLAB的主要界面包括以下几个部分：

1. MATLAB命令窗口（Command Window）：用户可以在命令窗口中直接输入MATLAB命令并执行，查看命令的输出结果。这是与MATLAB进行交互的主要方式。

2. MATLAB编辑器（Editor）：用户可以使用编辑器编写、编辑和保存MATLAB脚本文件（.m文件），其中包含了一系列MATLAB命令和代码用于完成特定任务。

3. MATLAB当前文件夹（Current Folder）：显示当前工作目录中的文件和文件夹，用户可以在其中管理和浏览MATLAB文件，包括脚本文件、函数文件等。

4. MATLAB命令历史（Command History）：显示之前执行过的MATLAB命令，用户可以在历史记录中查看和重新执行之前输入的命令。

5. MATLAB工具栏（Toolbar）：包含了各种常用的操作按钮和快捷方式，如新建、保存、运行脚本等，方便用户进行操作。

6. MATLAB菜单栏（Menu Bar）：包含了各种菜单项，用户可以通过菜单栏访问不同功能和工具，如文件操作、编辑命令、运行程序等。

7. MATLAB图形窗口（Figure Window）：当用户绘制图形或进行数据可视化时，MATLAB会在图形窗口中显示生成的图形，用户可以对图形进行交互式操作和保存。

8. MATLAB帮助文档（Help）：用户可以通过MATLAB提供的帮助文档查找和学习MATLAB函数的使用方法、语法规则等，以及解决常见问题。

MATLAB可以用于进行各种简单的计算和数学操作：

1. 矩阵运算：计算两个矩阵的乘积
```matlab
A = [1, 2; 3, 4];
B = [5, 6; 7, 8];
C = A * B;
disp(C);
```

2. 解线性方程组：求解线性方程组 3x + 2y = 7, 5x - 2y = -3
```matlab
A = [3, 2; 5, -2];
b = [7; -3];
x = A \ b;
disp(x);
```

3. 求导：对函数 y = x^2 求导
```matlab
syms x;
y = x^2;
dy = diff(y, x);
disp(dy);
```

4. 求定积分：计算函数 y = x^2 在区间 [0, 1] 上的定积分
```matlab
syms x;
y = x^2;
int_value = int(y, 0, 1);
disp(int_value);
```

5. 绘制函数图像：绘制函数 y = sin(x) 的图像
```matlab
x = 0:0.1:2*pi;
y = sin(x);
plot(x, y);
xlabel('x');
ylabel('sin(x)');
title('Graph of y = sin(x)');
```

% 生成随机数据
x = 1:10;
y = randi([1, 10], 1, 10);

% 绘制折线图
figure;
plot(x, y, 'o-');
xlabel('X轴');
ylabel('Y轴');
title('随机数据的折线图');

% 绘制柱状图
figure;
bar(x, y);
xlabel('X轴');
ylabel('Y轴');
title('随机数据的柱状图');

% 绘制散点图
figure;
scatter(x, y);
xlabel('X轴');
ylabel('Y轴');
title('随机数据的散点图');

变量命名规则

- 变量名的第一个字母必须是英文字母。
- 变量名对字母的大小写是敏感的，即大小写不同的变量名被视为不同的变量。
- 变量名可以包含英文字母、下划线和数字。
- 变量名不能包含空格或标点符号。
- 变量名最多可以包含63个字符（适用于MATLAB 6.5及以后的版本）。

赋值语句

在MATLAB中，可以使用赋值语句将表达式的结果赋给变量。例如：
```matlab
x = 10; % 将值10赋给变量x
y = x + 5; % 将表达式x + 5的结果赋给变量y
```

根据上述规则，以下是一些符合规范的变量定义示例：
```matlab
myVariable = 20; % 正确的变量名，包含字母和数字
my_var = 'Hello'; % 正确的变量名，包含字母和下划线
var2 = 3.14; % 正确的变量名，包含字母和数字
```

需要注意的是，在MATLAB中，变量名的选择应具有描述性，以便更好地理解代码并提高可读性。符合命名规则的变量名可以让代码更易于维护和理解。

2.2 矩阵产生与表示

2.2.1 直接输入法创建矩阵

直接输入法是最简单的创建矩阵的方法之一，在MATLAB命令窗口中直接输入矩阵的元素。例如：
```matlab
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];
```
这将创建一个3x3的矩阵A，其中包含1到9的数字。

2.2.2 向量法创建矩阵

向量法创建矩阵是指使用MATLAB中的向量来构造矩阵。例如，可以使用冒号运算符创建一个向量，然后通过reshape函数将其转换为矩阵。示例：
```matlab
v = 1:9; % 创建一个包含1到9的向量
B = reshape(v, 3, 3); % 将向量v转换为3x3矩阵B
```

2.2.3 函数法创建矩阵

函数法创建矩阵是通过调用MATLAB内置函数生成特定类型的矩阵。例如：
```matlab
C = zeros(2, 3); % 创建一个2x3的零矩阵C
D = eye(4); % 创建一个4x4的单位矩阵D
E = rand(3, 2); % 创建一个3x2的随机矩阵E
```
上述代码分别使用了zeros、eye和rand等函数创建了不同类型的矩阵。

以上是关于在MATLAB中创建和表示矩阵的几种常见方法。您可以根据实际需求选择适合的方法来生成矩阵。如果您有任何进一步的问题或需要更详细的解释，请随时提出。

当在MATLAB中处理矩阵时，引用矩阵元素是非常常见的操作。下面我将更详细地介绍如何引用矩阵中的单个元素、提取行和列，以及使用向量标识方式进行更灵活的操作：

2.3 矩阵元素的引用

2.3.1 矩阵单个元素与行、列提取

在MATLAB中，可以通过指定行和列索引来引用矩阵中的单个元素。例如，对于一个3x3的矩阵A：
```matlab
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];
```

- 引用单个元素：可以使用A(i, j)来引用第i行第j列的元素。例如，要获取矩阵A中第2行第3列的元素，可以执行以下操作：
```matlab
element = A(2, 3); % 这将返回值6。
```

- 提取整行或整列：可以使用A(i, :)来提取第i行的所有元素，使用A(:, j)来提取第j列的所有元素。例如，要提取矩阵A的第3行和第1列，可以执行以下操作：
```matlab
row = A(3, :); % 返回第3行：[7, 8, 9]
column = A(:, 1); % 返回第1列：[1; 4; 7]
```

2.3.2 向量标识方式

MATLAB中的向量标识方式允许您以更灵活的方式引用矩阵中的元素。您可以使用冒号运算符来指定一个范围。例如，要提取矩阵A中第2到第3行、第1到第2列的子矩阵，可以执行以下操作：
```matlab
B = A(2:3, 1:2); % 获取第2到第3行、第1到第2列的子矩阵
```

通过向量标识方式，您可以轻松地提取矩阵中的子集，而不必逐个指定每个元素的索引。

2.4 矩阵基本操作

2.4.1 矩阵提取子块、合并短阵、转置与展开

在MATLAB中，对矩阵进行一些基本操作是很常见的。以下是一些常用的操作：

- 提取子块：使用向量标识方式可以提取矩阵的子块。例如，要提取矩阵A中的一个子块，可以这样做：
```matlab
submatrix = A(2:3, 1:2); % 提取第2到第3行、第1到第2列的子块
```

- 合并矩阵：可以使用函数`cat`或方括号来合并矩阵。例如，要将两个矩阵水平合并，可以这样：
```matlab
C = [A, B]; % 将矩阵A和矩阵B水平合并
```

- 转置矩阵：使用运算符`'`或函数`transpose`可以对矩阵进行转置操作。例如，对矩阵A进行转置：
```matlab
A_transpose = A'; % A的转置矩阵
```

- 展开矩阵：使用`reshape`函数可以将矩阵展开成一个向量。例如，将矩阵A展开成一个列向量：
```matlab
A_vector = reshape(A, [], 1); % 将矩阵A展开成一个列向量
```

2.4.2 矩阵的修改和删除

在MATLAB中，可以对矩阵进行修改或删除特定元素。以下是一些示例操作：

- 修改矩阵元素：通过赋值操作可以修改矩阵的特定元素。例如，将矩阵A中的某个元素改为新值：
```matlab
A(2, 3) = 10; % 将矩阵A中第2行第3列的元素改为10
```

- 删除行或列：使用索引和赋值操作可以删除矩阵的特定行或列。例如，删除矩阵A的第2行：
```matlab
A(2, :) = []; % 删除矩阵A的第2行
```

2.5 数组运算

2.5.1 数组的定义

在MATLAB中，数组是最基本的数据类型之一，它可以是向量、矩阵或多维数组。您可以使用不同的语法来定义数组，例如：

- 定义行向量或列向量：
```matlab
row_vector = [1, 2, 3, 4]; % 定义行向量
column_vector = [1; 2; 3; 4]; % 定义列向量
```

- 定义矩阵：
```matlab
matrix = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]; % 定义3x3的矩阵
```

- 定义多维数组：
```matlab
multi_array = rand(2, 3, 4); % 定义一个2x3x4的多维数组，元素为随机数
```

2.5.2 数组的数学计算

在MATLAB中，数组可以进行各种数学计算，例如加法、减法、乘法、除法等。以下是一些示例：

- 数组加法：
```matlab
A = [1, 2; 3, 4];
B = [5, 6; 7, 8];
C = A + B; % 对应元素相加
```

- 数组乘法：
```matlab
D = A * B; % 矩阵乘法
```

- 数学函数应用：
```matlab
E = sin(A); % 对矩阵A中的每个元素求正弦值
```

2.5.3 数组的关系和逻辑运算

除了数学计算之外，数组还可以进行关系和逻辑运算，比如大于、小于、等于等操作。以下是一些示例：

- 关系运算：
```matlab
F = A > B; % 返回一个逻辑数组，表示A中每个元素是否大于B中对应位置的元素
```

- 逻辑运算：
```matlab
G = (A > 2) & (B < 7); % 返回一个逻辑数组，表示A中元素大于2且B中元素小于7的位置
```

3.1.1 矩阵加法运算

矩阵加法是指对应位置的元素相加，要求参与运算的矩阵维度相同。示例代码如下：

```matlab
A = [1, 2; 3, 4];
B = [5, 6; 7, 8];
C = A + B; % 结果为 [6, 8; 10, 12]
```

3.1.2 矩阵减法运算

矩阵减法也是对应位置的元素相减，示例代码如下：

```matlab
D = A - B; % 结果为 [-4, -4; -4, -4]
```

3.1.3 矩阵乘法运算

矩阵乘法是两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。示例代码如下：

```matlab
E = A * B; % 结果为 [19, 22; 43, 50]
```

3.1.4 矩阵点乘运算

矩阵点乘是指对应位置的元素相乘，示例代码如下：

```matlab
F = A .* B; % 结果为 [5, 12; 21, 32]
```

3.1.5 矩阵除法运算

矩阵除法是将两个矩阵相除，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。示例代码如下：

```matlab
G = A / B; % 结果为 A * inv(B)，其中inv(B)表示矩阵B的逆矩阵
```

3.1.6 矩阵点除运算

矩阵点除是指对应位置的元素相除，示例代码如下：

```matlab
H = A ./ B; % 结果为 [0.2, 0.3333; 0.4286, 0.5]
```

3.1.7 矩阵乘方运算

矩阵乘方是指将矩阵自身相乘若干次，示例代码如下：

```matlab
I = A ^ 2; % 结果为 A * A
```

3.1.8 矩阵点乘方运算

矩阵点乘方是指对矩阵中的每个元素进行乘方操作，示例代码如下：

```matlab
J = A .^ 2; % 结果为 [1, 4; 9, 16]
```

关系运算符在比较标量和矩阵时遵循以下规则：

1. 当两个标量进行比较时，直接比较两个数的大小。如果关系成立，则结果为1，否则为0。

2. 当两个维数相等的矩阵进行比较时，这些矩阵的对应位置的元素按标量关系进行比较，并生成一个与原始矩阵维度相同的0、1矩阵。也就是说，对于每个位置上的元素，如果关系成立，则结果为1，否则为0。

3. 当一个标量与一个矩阵进行比较时，该标量会与矩阵的每个元素进行比较，最终形成一个与原始矩阵维度相同的0、1矩阵。对于每个位置上的元素，如果关系成立，则结果为1，否则为0。

当两个矩阵进行比较时，根据前面提到的规则，可以看一些示例来更好地理解。假设有以下两个矩阵：

矩阵A:
```
1 2
3 4
```

矩阵B:
```
2 2
3 5
```

接下来，我们可以通过比较这两个矩阵来演示关系运算符的运算法则：

1. 比较两个矩阵是否相等：
```matlab
A == B
结果为：
0 1
1 0
```

2. 比较两个矩阵是否不相等：
```matlab
A ~= B
结果为：
1 0
0 1
```

3. 比较矩阵A中的元素是否大于矩阵B中的对应元素：
```matlab
A > B
结果为：
0 0
0 0
```

4. 比较矩阵A中的元素是否小于等于矩阵B中的对应元素：
```matlab
A <= B
结果为：
1 1
1 1
```

5. 比较标量和矩阵：
```matlab
2 < A
结果为：
0 0
1 1
```

逆矩阵

逆矩阵是在线性代数中的一个重要概念。对于一个可逆矩阵 A，存在一个矩阵 B，使得 A 与 B 的矩阵乘积等于单位矩阵（Identity Matrix），即 A * B = B * A = I，其中 I 是单位矩阵。

具体来说，如果矩阵 A 是一个 n × n 的方阵，并且满足以下条件：
1. 存在另一个 n × n 的矩阵 B，使得 A * B = B * A = I，其中 I 是 n 阶单位矩阵。
2. 则矩阵 B 被称为矩阵 A 的逆矩阵，通常用 A^-1 表示。

逆矩阵的存在性是矩阵理论中非常重要的概念，因为它提供了解线性方程组、求解线性方程组的逆、计算行列式和解决许多其他数学问题的方法。

需要注意的是，并非所有矩阵都有逆矩阵。只有当一个矩阵是可逆的（即其行列式不为零）时，才存在唯一的逆矩阵。

1. **创建一个矩阵**：
首先，你需要创建一个需要计算逆矩阵的矩阵。可以通过直接输入矩阵元素或者其他方式创建矩阵。

```matlab
A = [1 2; 3 4]; % 创建一个2x2的矩阵
```

2. **计算逆矩阵**：
使用 `inv()` 函数来计算矩阵的逆矩阵。

```matlab
A_inv = inv(A); % 计算矩阵 A 的逆矩阵
```

3. **检查矩阵是否可逆**：
在计算逆矩阵之前，最好先检查矩阵是否是可逆的。一种方法是检查矩阵的行列式是否为非零值，因为只有行列式非零的矩阵才是可逆的。

```matlab
det_A = det(A); % 计算矩阵 A 的行列式
if det_A ~= 0
disp('该矩阵是可逆的');
else
disp('该矩阵不可逆');
end
```

4. **注意事项**：
- 当矩阵较大或者特别稀疏时，计算逆矩阵可能会比较耗时。
- 对于特别大的矩阵，考虑使用其他方法或者工具箱来求解逆矩阵，以提高效率和准确性。

行列式和秩

矩阵是一个重要的数学概念，它在线性代数中有着广泛的应用。矩阵的行列式和秩是矩阵的两个重要性质。

1. **行列式**：矩阵的行列式是一个标量值，通常表示为 \( |A| \)。对于一个 \( n \times n \) 的矩阵，其行列式的计算涉及到矩阵的元素。行列式的计算方法比较复杂，但可以通过一些方法（如拉普拉斯展开）来计算。行列式为0表示矩阵是奇异的，不可逆；行列式不为0表示矩阵是非奇异的，可逆。

2. **秩**：矩阵的秩是指矩阵的列空间（或者行空间）中的线性无关向量的最大个数。矩阵的秩也可以理解为矩阵的最大非零子式的阶数。秩的计算可以通过对矩阵进行一系列的行变换，然后确定矩阵中非零行的个数。秩的大小决定了矩阵的重要性和特性。

在 MATLAB 中，你可以使用以下函数来计算矩阵的行列式和秩：

1. **计算行列式**：
使用 `det()` 函数可以计算矩阵的行列式。下面是一个示例：

```matlab
A = [1 2; 3 4]; % 定义一个2x2的矩阵
det_A = det(A); % 计算矩阵 A 的行列式
disp(det_A); % 显示行列式的值
```

2. **计算秩**：
使用 `rank()` 函数可以计算矩阵的秩。下面是一个示例：

```matlab
B = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; % 定义一个3x3的矩阵
rank_B = rank(B); % 计算矩阵 B 的秩
disp(rank_B); % 显示矩阵的秩
```