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1.二叉树的顺序结构及实现

1.1 二叉树的顺序结构

2 堆的概念及结构

3 堆的实现

3.1堆的代码定义

3.2堆插入数据

3.3打印堆数据

3.4堆的数据的删除

3.5获取根部数据

3.6判断堆是否为空

3.7 堆的销毁 

4.建堆以及堆排序 

4.1堆排序---是一种选择排序

4.2升序建大堆，降序建小堆

 4.3 建堆的时间复杂度

4.3.1向下调整建堆

4.3.2向上调整建堆

4.4 topk问题

5.结语

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1.二叉树的顺序结构及实现

1.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

左孩子的下标 = 父亲下标*2+1

右孩子下标 = 父亲节点下标*2+2

父亲节点下标 = （子节点下标-1）/2 

2 堆的概念及结构

堆是非线性结构，是完全二叉树

如果有一个值的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足： = 且 >= ) i = 0，1， 2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。 堆的性质： 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

堆总是一棵完全二叉树。

通俗来说父节点小于等于子节点的完全二叉树就叫小根堆，或者小堆，根一定是整棵树最小的。

父节点值大于等于子节点的完全二叉树叫做大根堆。或者大堆，但是底层数组不一定降序。但是大堆的根是整棵树的最大值。

3 堆的实现

3.1堆的代码定义

底层是一个顺序表

typedef int HPDataType;

typedef struct Heap
{
	//底层是一个顺序表，但是数据不是随便存储，逻辑结构是二叉树
	HPDataType * a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

堆的初始化：

void HeapInit(HP* php)
{
	assert(php);
	HPDataType* tmp = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * 2);//先为i堆空间申请两个节点
	if (tmp == NULL)
	{
		perror("malloc");
		exit(-1);
	}
	
	php->a = tmp;
	php->capacity = 2;
	
	php->size = 0;
}

3.2堆插入数据

实现关键

实现原理图：向上调整：

（以大堆的实现方式举例）

首先我们从有限个数据的层面来实现一下堆的实现，后面堆排序再来看对于一堆数据怎么建堆。

对于一组少量数据比如一个数组：

首先将数据一个一个插入到堆里面，由于数据有限可以使用这种数据插入的方式建立堆这种数据结构；

void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	//尾插

	assert(php);
	//判断空间够不够
	if (php->capacity == php->size)
	{
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(php->a) + sizeof(HPDataType) * 2);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc");
			exit(-1);
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity += 2;
	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;
	//调整数据，变成堆
	AdjustUp(php->a, php->size-1);
	
}

 然后把这组数据调整成一个堆：

void Swap(HPDataType* child, HPDataType* parent)
{
	HPDataType tmp = 0;
	tmp = *child;
	*child = *parent;
	*parent = tmp;
}
void AdjustUp(HPDataType* a,int child)//向上调整
{
	//最坏调整到根
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child>0)//注意这个判断条件
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			//交换
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			//继续往上深入判断，将父亲的下标给孩子，父亲的父亲的下标给父亲
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;//跳出循环
		}
	}

}

3.3打印堆数据

为了看一下我们插入的效果我们来试一下插入一段数据 

void HeapPrint(HP* php)
{
	assert(php); 
	for (int i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ", php->a[i]);
		
	}
}

 

 就建成了一个大堆。

3.4堆的数据的删除

堆这个数据结构有意义的一个点就是，大堆的根一定是这组数据中最大的值，小堆的根一定是这组数据中最小的值。所以如果我们能拿到这个根的数据，再删除就可以找到这堆数据中次小的数据了。那么删除根数据是这个结构比较有意义的。

想一个问题：根的删除能不能简单的数据覆盖？只是将后续的数据移动向前

答案是不能的，可以数据这样移动后续数据根本就不能成堆了。那么这里使用的方法是向下调整法

前提是左右子树是堆：

这里我们以小堆举例示范：

先删除

void HeapPop(HP* php) 
{
	assert(php);
	//不可挪动覆盖。可能就不是堆了
	//先交换根和最后一个值，再删除，左右子树依旧是小堆
	//向下调整的算法，左右子树都是小堆或者大堆。
	 
	assert(php->size > 0);
	Swap(&php->a[0],&php->a[php->size-1]);
	php->size--;//删除了数据
	AdjustDown(php->a,php->size, 0);
}

在调整

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child<n)
	{
		if (child+1<n&&a[child + 1] < a[child])//child+1可能越界访问
		{
			child++;
		}
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			//继续向下调整
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}

}

调整是由于每次都是取两个子节点中的较小的值，所以先假设一个大，如果假设错了，就改变下标 

if (child+1<n&&a[child + 1] < a[child])//child+1可能越界访问
        {
            child++;
        }

对调整循环结束的判定所示孩子下标小于n

3.5获取根部数据

//获取根部数据
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	return php->a[0];
}

3.6判断堆是否为空

//判断堆是否为空函数
bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;

}

3.7 堆的销毁 

void HeapDestory(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

那么如果现在我们每次拿到堆的元素在删除在获取，就可以得到一个有序的数据了：

4.建堆以及堆排序 

上面我们已经掌握了堆这个数据结构的一些方法，最后通过插入数据建堆。删除数据将数据排序。可是如果我有十亿个数据，想找出最大的十个数据，如果用堆得插入10亿次数据吗？那就失去了使用这个数据结构的意义，通常来说我们只用建立一个大堆模型，这个堆的前十个数据自然就是10亿个数据中的最大的一个。

4.1堆排序---是一种选择排序

使用堆结构对一组数据进行排序,方便对数据进行处理。粗暴办法就是将原数组数据插入堆，再取堆数据覆盖，这种方法首先得有堆结构，其次插入数据就要额外开辟空间。

最好的方式就是直接将原数组或者原来的这组数据变成堆。将原数组直接看成一颗完全二叉树，一般都不是堆。那么就要将原数据之间调成堆----建堆

建堆不是插入数据，只是使用向上调整的思想。在原有数据上进行更改，调换

int a[] = { 2,3,5,7,4,6,8,65,100,70,32,50,60 };
HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));

void HeapSort(int* a, int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(a, 1);
	}

}

void AdjustUp(HPDataType* a,int child)//向上调整
{
	//最坏调整到根
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child>0)//注意这个判断条件
	{
		if (a[child] < a[parent])
		{
			//交换
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			//继续往上深入判断，将父亲的下标给孩子，父亲的父亲的下标给父亲
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;//跳出循环
		}
	}

}

4.2升序建大堆，降序建小堆

一般我们要利用堆结构将一组数据排成升序，就建立大堆

要利用堆结构将一组数据排成降序，就建立小堆。

排序和删除的原理是一样的，先找最大/最小然后次大/次小，每次选取数据后不会将后面数据覆盖上来，否则就会导致关系全乱，可能次大数据就要重新建堆，增加了工作量了。而是通过堆顶元素和最后一个数据交换位置过后，向下调整思想，将排除刚刚调整的尾部最大数据除外的剩下数据看成堆，循环排序。

最后发现：大堆这样处理的数据最大的数据在最后，最小的在最前，小堆相反。 

void HeapSort(int* a, int n)
{
	//对数据进行建堆
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(a, 1);
	}
	//堆排序---向下调整的思想
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		--end;//让n-1个数据调整成堆选出次小
	}

}

 4.3 建堆的时间复杂度

4.3.1向下调整建堆

讨论最坏的时间复杂度

将下图进行建立一个大堆

假设有h层，这里测算的时间复杂度是最坏的情况，那么就相当于调整的是一个满二叉树的堆。

第h层  ，共有2^(h-1)个节点， 需要调整0次

第h-1层，共有2^(h-2)个节点 ，每个节点调整一次，调整：2^(h-2)*1次

第h-2层，共有2^(h-3)个节点，每个节点最坏向下调整两次，调整2^(h-3)*2次

        ：

        ：

        ：

第3层，共有2^（2）个节点，每个节点向下调整h-3次，调整2^（2）*（h-3）次

第2层，共有2^（1）个节点，每个节点向下调整h-2次，调整2^（1）*（h-2）次

第1层，共有2^（0）个节点，每个节点向下调整h-1次，调整2^（0）*（h-1）次

时间复杂度为：

T(h) = 2^（0）*（h-1）+2^（1）*（h-2）+2^（2）*（h-3）+…………2^(h-3)*2+2^(h-2)*1①

2T(h) =  2^（1）*（h-1）+2^（2）*（h-2）+2^（3）*（h-3）+…………2^(h-2)*2+2^(h-1)*1

②

②-①得

T(h) = 2^（1）+2^（2）……+2^(h-2)+2^(h-1)+1-h

=2^0+2^（1）+2^（2）……+2^(h-2)+2^(h-1)-h

=2^h-1-h

由于h是树的层高，与节点个数的关系是：N = 2^h-1

h = log(n+1)

所以时间复杂度为：

O(N) = N-longN+1~O(N)

4.3.2向上调整建堆

4.4 topk问题

 TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。 对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能 数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，

基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆 前k个最大的元素，则建小堆 ；找前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

比如现在我们的磁盘中有十亿个数据，我们要在十亿数据中找到前100个最大的数

第一步：读取文件的前100个数据，在内存中建立一个小堆

第二步：再依次读取剩余数据与堆顶部元素进行比较，大于堆顶就替换进堆，向下调整，所有数据读完，堆里面就是最大的100个。

首先堆顶元素就是这100个数据中最小的，如果比这个堆顶数据小的肯定不是要找的前100个最大数中的一个，如果比堆顶元素大进替换堆顶元素进堆，向下调整后找到这100个数据中次二小的，最后遍历完就得到这100个最大的数据。堆顶元素就是第100大数据，如果建立大堆一轮遍历只能找到一个最大的值，就没有必要建堆了。

先向磁盘中写入1万个数据

void CreateNDate()
{
	int n = 10000;
	srand(time(0));
	const char* file = "data.txt";
	FILE* fin = fopen(file, "w");
	if (fin == NULL)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int x = rand() % 1000000;
		fprintf(fin, "%d\n", x);
	}
	fclose(fin);
}

将前k个数据从磁盘中读入内存，

// 1. 建堆--用a中前k个元素建堆
//首先读文件
FILE* fout = fopen(filename, "r");
if (fout == NULL)
{
	perror("fopen");
	return;
}
int* minhead = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
if (minhead == NULL)
{
	perror("malloc fail");
	return;
}
for (int i = 0; i < k; i++)
{
	fscanf(fout, "%d", &minhead[i]);
}

利用向下调整的方式建堆，并且与磁盘中的元素进行一一比较

//建堆，也可以向上插入建堆
for (int i = (k - 2) / 2; i >= 0; i--)
{
	AdjustDown(minhead, k ,i);
}


// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换
int x = 0;
while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF)
{
	if (x > minhead[0])
	{
		minhead[0] = x;//替换进堆
		AdjustDown(minhead, k, 0);
	}
}
//打印一下前100个最大的数据
for (int i = 0; i < k; i++)
{
	printf("%d ", minhead[i]);
}
printf("\n");
fclose(fout);

然后手动修改十个·最大的值在磁盘里检测结果：

 

在初始堆的时候就可以直接为这段数据开辟固定空间，然后初始化堆的时候就可以直接建堆；

void HeapInitArray(HP* php, int* a, int n)
{
	assert(php);
	assert(a);
	php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);//之间开辟好对应数据大小的空间
	if (php->a == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	php->size = n;
	php->capacity = n;
	memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType) * n);//将数据拷贝到空间中
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(php->a, i);//向上调整成堆
	}
}

5.结语

以上就是本期的所有内容，知识含量蛮多，大家可以配合解释和原码运行理解。创作不易，大家如果觉得还可以的话，欢迎大家三连，有问题的地方欢迎大家指正，一起交流学习，一起成长，我是Nicn，正在c++方向前行的奋斗者，数据结构内容持续更新中，感谢大家的关注与喜欢。