[蓝桥杯 2013 省 A] 大臣的旅费

题目描述

很久以前，T 王国空前繁荣。为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。

为节省经费，T 国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。

J 是 T 国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了 J 最常做的事情。他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。

聪明的 J 发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，在走第 $x$ 千米到第 $x+1$ 千米这一千米中（$x$ 是整数），他花费的路费是 $x+10$ 这么多。也就是说走 $1$ 千米花费 $11$，走 $2$ 千米要花费 $23$。

J 大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？

输入格式

输入的第一行包含一个整数 $n(n\le 10^5)$，表示包括首都在内的 $T$ 王国的城市数。

城市从 $1$ 开始依次编号，$1$ 号城市为首都。

接下来 $n-1$ 行，描述 $T$ 国的高速路（$T$ 国的高速路一定是 $n-1$ 条）。

每行三个整数 $P_i,Q,D_i$，表示城市 $P_i$ 和城市 $Q_i$ 之间有一条高速路，长度为 $D_i(D_i\le 1000)$ 米。

输出格式

输出一个整数，表示大臣J最多花费的路费是多少。

样例 #1

样例输入 #1

5
1 2 2
1 3 1
2 4 5
2 5 4

样例输出 #1

135

提示

样例解释：大臣 J 从城市 $4$ 到城市 $5$ 要花费 $135$ 的路费。

时限 5 秒, 64M。蓝桥杯 2013 年第四届省赛

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思路

这个图是一棵树。树是一种特殊的图，它是无环的连通图。“连通"意味着图中的任意两个节点都存在一条路径相连，这对应了题目中的"任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达”。“无环"则意味着图中不存在闭合的路径，这对应了题目中的"如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的”。

树的直径定义为树中所有最短路径的最大值，也就是树中最远的两个节点之间的距离。在无向树中，最远的两个节点一定是叶子节点，也就是只有一个邻居的节点。

首先从树中任意一个节点开始，进行一次深度优先搜索，找到最远的节点。然后，从这个节点开始再进行一次深度优先搜索，找到最远的节点。这两个节点之间的距离就是树的直径。

首先，定义一些常量和类型，包括节点的最大数量（N），无穷大（INF），模数（MOD），以及一些类型别名如长整型（ll）和长整型对（pll）。

然后，定义一个全局变量n用来存储城市的数量。定义一个结构体Snode，用来表示边，包括目标节点（to），边的长度（d）和下一条边的索引（next）。定义一个数组edge用来存储所有的边，一个数组head用来存储每个节点的第一条边的索引，一个变量cnt用来计数边的数量。

接着，定义一个函数add，用来向邻接链表中添加边。函数接受两个节点和一条边的长度作为参数，然后将这条边添加到邻接链表中。

然后，定义一个函数dfs，用来进行深度优先搜索。函数接受一个节点和它的父节点作为参数，然后返回一个长整型对，其中第一个元素是该节点到达的最远节点，第二个元素是最远的距离。在函数中，遍历该节点的所有边，如果边的目标节点不是父节点，则对目标节点进行深度优先搜索，并更新最远的节点和距离。

在主函数中，首先初始化头结点，然后从输入中读取城市的数量和所有的边。接着，从首都开始进行一次深度优先搜索，找到最远的节点，然后从这个节点开始再进行一次深度优先搜索，找到最远的距离。最后，根据题目的要求，计算并输出最多的路费。

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AC代码

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define mp make_pair
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;
using pll = pair<ll, ll>;

const int N = 1e6 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;

int n;

struct Snode {
	int to;
	int d;
	int next;
} edge[N];
int head[N];
int cnt = 0;

void add(int u, int v, int d) {
	edge[cnt] = {v, d, head[u]};
	head[u] = cnt++;
}

pll dfs(int x, int fa) {
	// cout << x << endl;
	pll ret = {x, 0};
	for (int i = head[x]; ~i; i = edge[i].next) {
		int to = edge[i].to;
		if (to == fa) {
			continue;
		}
		pll t = dfs(to, x);
		ll d = t.second + edge[i].d;
		if (ret.second < d) {
			ret = {t.first, d};
		}
	}
	return ret;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	memset(head, -1, sizeof(head));

	cin >> n;
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		int p, q, d;
		cin >> p >> q >> d;
		add(p, q, d);
		add(q, p, d);
	}
	int f = dfs(1, 0).first;
	ll dmax = dfs(f, 0).second;
	cout << (((1 + dmax) * dmax / 2) + dmax * 10);
	return 0;
}

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