目录
二分查找
算法实现
“双闭区间”实现
算法实现
python
C++
两种表示对比
大数越界处理
优点与缺点
二分查找
二分查找，利用数据的有序性，通过每轮缩小一半搜索区间来查找目标元素。
使用二分查找有两个前置条件：
- 要求输入数据是有序的，这样才能通过判断大小关系来排除一半的搜索区间；
- 二分查找仅适用于数组 ，而在链表中使用效率很低，因为其在循环中需要跳跃式（非连续地）访问元素。
算法实现
定一个长度为 n 的排序数组 nums ，元素从小到大排列。数组的索引取值范围为：0,1,2,⋯,n−1
使用 区间 来表示这个取值范围的方法主要有两种：
- 双闭区间 [0,n−1] ，即两个边界都包含自身；此方法下，区间 [0,0] 仍包含一个元素；
- 左闭右开 [0,n) ，即左边界包含自身、右边界不包含自身；此方法下，区间 [0,0) 为空；
“双闭区间”实现
首先，我们先采用“双闭区间”的表示，在数组 nums 中查找目标元素 target 的对应索引。
算法实现
接下来，以python与C++为例
python
双闭区间
def binary_search(nums, target):
# 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
i, j = 0, len(nums) - 1
while i <= j:
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target: # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1
elif nums[m] > target: # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1
else:
return m # 找到目标元素，返回其索引
return -1 # 未找到目标元素，返回 -1左闭右开
def binary_search1(nums, target):
# 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
i, j = 0, len(nums)
# 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while i < j:
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target: # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1
elif nums[m] > target: # 此情况说明 target 在区间 [i, m] 中
j = m
else: # 找到目标元素，返回其索引
return m
return -1 # 未找到目标元素，返回 -1C++
双闭区间
int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
int i = 0, j = nums.size() - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) {
int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1;
else // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}左闭右开
int binarySearch1(vector<int>& nums, int target) {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = nums.size();
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m] 中
j = m;
else // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}两种表示对比
| 表示方法 | 初始化指针 | 缩小区间 | 循环终止条件 |
|---|---|---|---|
| 双闭区间 [0,n−1] | i=0 , j=n−1 | i=m+1 , j=m−1 | i>j |
| 左闭右开 [0,n) | i=0 , j=n | i=m+1 , j=m | i=j |
观察发现，在“双闭区间”表示中，由于对左右两边界的定义是相同的，因此缩小区间的 i , j 处理方法也是对称的，这样更不容易出错。综上所述，建议你采用“双闭区间”的写法。
大数越界处理
python
# Python 中的数字理论上可以无限大（取决于内存大小）
# 因此无需考虑大数越界问题C++
// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
int m = (i + j) / 2;
// 更换为此写法则不会越界
int m = i + (j - i) / 2;优点与缺点
二分查找效率很高，体现在：
- 二分查找时间复杂度低。对数阶在数据量很大时具有巨大优势，例如，当数据大小 n=220 时，线性查找需要 220=1048576 轮循环，而二分查找仅需要 log2220=20 轮循环。
- 二分查找不需要额外空间。相对于借助额外数据结构来实现查找的算法来说，其更加节约空间使用。
但并不意味着所有情况下都应使用二分查找，这是因为：
- 二分查找仅适用于有序数据。如果输入数据是无序的，为了使用二分查找而专门执行数据排序，那么是得不偿失的，因为排序算法的时间复杂度一般为 O(nlogn) ，比线性查找和二分查找都更差。再例如，对于频繁插入元素的场景，为了保持数组的有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 O(n) ，也是非常昂贵的。
- 二分查找仅适用于数组。由于在二分查找中，访问索引是 ”非连续“ 的，因此链表或者基于链表实现的数据结构都无法使用。
- 在小数据量下，线性查找的性能更好。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，在数据量 n 较小时，线性查找反而比二分查找更快。
