二分查找【详解】

news2024/7/6 20:02:49

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本期介绍🍖
主要介绍：二分查找的简单思路，为什么必须在有序的前提下才能使用二分查找，该怎么用C程序来实现二分查找，二分查找的局限性👀。

文章目录

1. 题目
2. 思路
3. 前提条件
4. 编写程序

1. 题目

在一个有序的数组中查找一个数，如果找到该数则返回下标，如果没有找到就返回没有找到。

2. 思路

当我们要从一个序列中查找一个元素的时候，最快想到的方法就是顺序查找法（即：从前到后依次查找）。但这种方法过于无脑，就是暴力的把每个元素都排查一遍。元素个数少的时候还行，一旦元素个数多起来，效率是非常低下，所以在实际中这种查找的方法是被摒弃的。
这里就不得不介绍一种简单且效率较高的查找方法了：二分查找法，又称折半查找法。但该方法是建立在有序的前提下的，基本思路就是：先找到那个有序序列的中间元素mid，然后拿它和要找的元素K进行比较，就可以初步判断K所在范围，既然查找范围已确定，自然该范围之外的元素就可以不用再查找了。
因为二分查找每一次查找都可以缩减掉一半的查找范围，由此可以知道二分查找法的时间复杂度: $log_2(N)$ 。举个例子来解释该时间复杂度：若这里一共有2^32个元素，那么我在最坏的情况下也只需要32次就可以找到我想找的元素；而顺序查找法最坏的情况下，却需要查找 4,294,967,296‬ 次！！！，可见二分查找法的效率是非常之高的。

3. 前提条件

都说二分查找法的前提条件是：查找的序列必须是有序的。我想大概很多小伙伴都会错误的认为有序是差值恒为1的顺序数列（就像这样1、2、3、4、5、6、7、8、9）。这只不过是有序的某一种情况罢了，那何为有序呢？即：该序列中的所有元素都是按照升序或者降序排列好的，元素与元素只间的差值虽然是随机的，但始终是在递增或递减（例如这样一个序列：3、12、24、31、46、48、66、79、82）。

4. 编写程序

上面介绍完二分查找的思路和其限制条件后，接下来就该讲一讲如何去实现代码了。就用该案来讲解吧，下图所示序列中查找数字7，看是否能找到。
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1. 第一步👀

首先，我们是要在一个有序的序列中查找某个元素的，那么该序列就必须有个连续的存储空间来存放，所以我们想到了用数组arr来存放。

#include<stdio.h>
int main()
{
	//存储递增的有序数列
	int arr[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 };
}

2. 第二步👀

接下来，就该是找到序列的中间元素了，那该怎么找？我提供一个思路：通过对数组元素下标的计算来找到中间元素（中间元素下标mid=（数组最左边下标left + 最右边元素下标right）/ 2）。

程序如下所示：

#include<stdio.h>
int main()
{
	
	int arr[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 };//存储递增的有序数列
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);//sz是数组元素的总个数
	int mid = 0;//存储中间元素的下标
	
	//左、右元素下标确定了被查找元素k的所在范围
	int left = 0;//最左边元素的下标
	int right = sz - 1;//最右边元素的下标
	int k = 0;//所要查找的元素k
	scanf("%d", &k);
	
	mid = (left + right) / 2;//计算中间元素的下标
}

3. 第三步👀

然后就拿中间元素和所查找元素k进行比较（这里我设置k = 7），发现7 > 5(中间元素)，所以可以重新精确k的范围在中间元素之后了即：最左边元素应该为中间元素后面一个（left = mid + 1），最右边元素下标right不变。

但其他的情况也不能忽略，k < mid时范围重新精确到了mid的左半部分，就是（right = mid - 1），left不变；还有当k = mid时就意味着：找到所要找的那个数了，就是mid下标所对应的那个数。程序如下：

#include<stdio.h>
int main()
{
	int arr[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 };//存储递增的有序数列
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);//sz是数组元素的总个数
	int mid = 0;//存储中间元素的下标

	//左、右元素下标确定了被查找元素k的所在范围
	int left = 0;//最左边元素的下标
	int right = sz - 1;//最右边元素的下标
	int k = 0;//所要查找的元素k
	scanf("%d", &k);

	mid = (left + right) / 2;//计算中间元素的下标
	//判断mid和看大小，重新精确k所在范围
	if (arr[mid] < k)
	{
		left = mid + 1;
	}
	else if (arr[mid] > k)
	{
		right = mid - 1;
	}
	else
	{
		printf("找到了\n");
	}
}

4. 第四步👀

然后就是重复的去执行：找中间元素下标，比较mid和k大小，从而更新迭代k新的范围，直到mid = k（即找到k了）为止。既然要实现重复的循环，程序中自然就要用到循环体了呀，那就加进去一个循环嘛。写道这里可还没算完呢，我们循环条件是什么还没确定呢！那循环条件如何确定呢？先思考个问题：若一直没找到我们所要找的元素，程序会以怎样的方式结束呢？

思考后我们发现在查找一个元素的时候，left下标和right下标会越来越靠近，甚至会指向一处，这个过程中left始终在right的左边（即：left <= right）。但如果一直找不到那个元素，两个下标必然会相互交错（即: left > right），这时循环结束。所以循环条件总结下来就是：while（left <= right）。

程序最终完成，如下所示：

#include<stdio.h>
int main()
{
	int arr[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 };//存储递增的有序数列
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);//sz是数组元素的总个数
	int mid = 0;//存储中间元素的下标

	//左、右元素下标确定了被查找元素k的所在范围
	int left = 0;//最左边元素的下标
	int right = sz - 1;//最右边元素的下标
	int k = 0;//所要查找的元素k
	printf("请输入所要查找的数：");
	scanf("%d", &k);

	while (left <= right)
	{
		mid = (left + right) / 2;//计算中间元素的下标
	//判断mid和看大小，重新精确k所在范围
		if (arr[mid] < k)
		{
			left = mid + 1;
		}
		else if (arr[mid] > k)
		{
			right = mid - 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
	if (left > right)
		printf("没有找到该数\n");
	else
	{
		printf("找到了\n");
	}
}