原题：
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
题解：
状态表示：
f[i][j]表示选择第i件物品，容量不超过j的最大价值。
状态计算：
将f[i]表示的所有选法分成两大类
1. 选法中不含 i ， 即从 1 ~ i-1中选，且总体积不超过j，即 f[i-1]
2. 选法中包含 i ，即从 1 ~ i 中选，包含 i，且总体积不超过 j
可以先把第 i 个物品拿出来，即从第 1 ~ i-1中选，且总体积不超过 j-v[i]，即f[i-1][j-v[i]]+w[i]
得到状态转移方程：
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i]);完整代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e3+10;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int n,m;
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
f[i][j] = f[i-1][j];
if(j>=v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}这里借用一下博主滚动数组（简单说明）_儒rs的博客-CSDN博客_滚动数组的图片
回顾背包问题，或许还会有以下疑惑：
1.如何判断当前选了第i件物品，总体积不会超过背包容量？
答：状态表示：从第1到i件物品中选，且总体积不超过j的所有选法的集合，属性是最大值，状态转移方程的判断j>=v[i]，当选第i件物品带来的价值更大时，此时的状态表示为f[i-1][j-v[i]]+w[i]，所选物品的总体积已经是给第i件物品留出空间来之后的体积j-v[i]。后续方案有更大值并不一定会继承上一个状态的方案（这里的方案代表每件物品的取舍），因为在dp中最优方案是不断变化的，
f[i][j]=f[i+1][j];
if(j>=v[i])f[i][j]=max(f[i][j],f[i+1][j-v[i]]+w[i]);可能在这一一步中 f[i][j]的最优选择是选择了第i件物品的
但是在后续递推的过程中，这个方案可能就被淘汰掉
2.如何得知取得最大价值的方案（字典序最小为例）
答：i是所有选择第i件物品的方案，i-1是所有不选择i的方案。
同第一问，因为dp过程中最优方案不断变化，实际上我们是从后往前推，第n个物品是否选，n-1个物品是否选...而要求字典序最小的最优方案是第1个物品能选则选，第2个物品能选则选...所以需要先从后往前求出最大价值，然后才可以从前往后推出方案
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int w[N], v[N];
int n, m;
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
for(int i = n; i; i --){
for(int j = 0;j <= m; j++){
f[i][j] = f[i+1][j];
if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i+1][j-v[i]]+w[i]);
}
}
for(int i=1, j=m; i<=n; i++){
if(f[i][j] == f[i+1][j-v[i]]+w[i] && j >= v[i]){
cout<<i<<" ";
j -= v[i];
}
}
return 0;
}3.既然最大值一定在f [ i ] [ m ]中取，为什么还要枚举 j 从1到m
答：dp是由小状态最优推出总体状态最优的（局部最优推整体最优），第二维状态涉及背包体积问题，受限（具体看第一问）。且dp中最优方案不是前一个状态决定后就一成不变的，可能前一个状态选择了第i件物品，后续递推过程中这个方案就被淘汰掉。
4.使用滚动数组将二维转化为一维问题，为什么可以省略，为什么要逆序枚举容量
状态转移方程第一维只用到了前一个状态，所以直接覆盖就可以。第二维用到的状态必定小于当前的j（j>=j-v[i]）。
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e3+10;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int n,m;
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=m;j>=v[i];j--){
f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}为什么一维情况下枚举背包容量需要逆序？在二维情况下，状态f[i][j]是由上一轮i - 1的状态得来的，f[i][j]与f[i - 1][j]是独立的。而优化到一维后，如果我们还是正序，则有f[较小体积]更新到f[较大体积]，则有可能本应该用第i-1轮的状态却用的是第i轮的状态。
例如，一维状态第i轮对体积为 33 的物品进行决策，则f[7]由f[4]更新而来，这里的f[4]正确应该是f[i - 1][4]，但从小到大枚举j这里的f[4]在第i轮计算却变成了f[i][4]。当逆序枚举背包容量j时，我们求f[7]同样由f[4]更新，但由于是逆序，这里的f[4]还没有在第i轮计算，所以此时实际计算的f[4]仍然是f[i - 1][4]。
简单来说，一维情况正序更新状态f[j]需要用到前面计算的状态已经被污染，逆序则不会有这样的问题。
