高精度加法和动态规划综合运用

news2024/11/19 1:29:40

高精度加法的原理与手工相加类似，只是在计算时需要考虑到进位和处理较大的数字。下面是实现高精度加法的基本原理：

表示数字： 高精度加法通常通过字符串来表示数字，因为字符串没有固定长度限制，可以容纳任意大的数字。每个字符代表一个数字位，例如字符串 "123" 表示数字 123。
从低位开始逐位相加： 从两个数字的最低位（个位）开始，逐位将对应的数字相加。如果某一数字的位数比另一个少，那么在缺少的位上认为是0。
处理进位： 在逐位相加的过程中，需要考虑到进位。如果两个数字相加的结果大于等于10，则需要进位。进位后的结果为当前位相加结果对10取余，而进位值为当前位相加结果除以10的商。
从低位到高位计算： 在进行逐位相加时，从低位（个位）开始向高位（十位、百位等）逐渐进行相加。每一位的计算都要考虑上一位的进位值。
处理最高位的进位： 当所有位都相加完成后，可能会出现最高位的进位情况。如果最高位相加后需要进位，那么需要在结果的最前面加上一个额外的1作为最高位。

通过以上原理，我们可以实现一个高精度加法的算法，来对两个较大的数字进行相加，而不会出现溢出问题。

模板如下，要注意得到的数是最高位放后面；如123会被存为321，所以要逆序输出。

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)  // C = A + B, A >= 0, B >= 0
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i++) {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

逆序输出

vector<int> h = count(n);
    for (auto it=h.rbegin();it!=h.rend(); it++) {
        cout << *it;
    }

动态规划是一种解决问题的算法思想，它通常用于优化递归或穷举的问题。动态规划的核心思想是将问题分解为子问题，并使用已知的解来解决更大规模的问题，从而避免重复计算。

下面我们以斐波那契数列为例，讲解动态规划的基本原理：

定义状态： 首先，我们需要定义问题的状态。在斐波那契数列中，状态通常表示为F(n)，表示第n个斐波那契数。
确定状态转移方程： 接下来，我们需要确定状态之间的转移关系。在斐波那契数列中，第n个斐波那契数等于前两个斐波那契数的和，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)。这就是状态转移方程。
确定初始状态： 我们需要确定初始状态，也就是问题的边界条件。在斐波那契数列中，初始状态通常是F(0) = 0和F(1) = 1。
利用动态规划求解： 最后，我们利用状态转移方程和初始状态，使用动态规划来求解问题。通常采用自底向上的方法，从初始状态开始，逐步计算出更大规模的状态，直到得到最终的解。

下面是一个使用动态规划来求解斐波那契数列的示例代码：

#include <iostream>
using namespace std;

long long fibonacci(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    long long dp[n+1];
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
    }
    return dp[n];
}

int main() {
    int n;
    cout << "Enter the value of n: ";
    cin >> n;
    cout << "The " << n << "th Fibonacci number is: " << fibonacci(n) << endl;
    return 0;
}

在这个示例中，我们使用动态规划来求解斐波那契数列的第n个数。我们定义了一个数组dp来存储斐波那契数列的值，然后利用状态转移方程dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]逐步计算出第n个数的值。

题目描述

楼梯有 N 阶，上楼可以一步上一阶，也可以一步上二阶。

编一个程序，计算共有多少种不同的走法。

输入格式

一个数字，楼梯数。

输出格式

输出走的方式总数。

输入输出样例

输入

输出 #1复制

说明/提示

对于 60% 的数据，1≤N≤50；
对于 100% 的数据，1≤N≤5000。

ac代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
vector<vector<int>> rmb(5002);


vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)  // C = A + B, A >= 0, B >= 0
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i++) {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

vector<int> count(int n) {
    if (n == 1)return {1};
    if (n == 2)return {2};
    rmb[1] = {1};
    rmb[2] = {2};
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        rmb[i] = add(rmb[i - 1], rmb[i - 2]);
    }
    return rmb[n];
}

int main() {
    int n = 0, sum = 0;
    cin >> n;
    vector<int> h = count(n);
    for (auto it=h.rbegin();it!=h.rend(); it++) {
        cout << *it;
    }
    return 0;
}