离散化

介绍

这里的离散化，特指整数的、保序的离散化

有些题目可能需要以数据作为下标来操作，但题目给出的数据的值比较大，但是数据个数比较小。此时就需要将数据映射到和数据个数数量级相同的区间，这就是离散化，即哈希映射。

举个例子，数据值域范围是0~10e9，数据个数范围是0~10e5，我们不可能开一个10e9的数组去存储，因此我们需要将数据映射到从0开始的自然数，即0~10e5，这样我们只需要开一个10e5的数组就可以去存储对应下标的一些值了。

核心思想：

• 单调性（排序）：首先数据必须保证是单调的，这样才能保证前后顺序不变
• 唯一性（去重）：数据内没有重复的数字，因为作为下标，应当是独一无二的
• 查找映射值（二分）：当数据序列经过了排序、去重等操作，它们在序列中本身的位置，即下标，就是他们离散化后的结果。查询一个数在数组中的下标，因为单调性，因此我们可以使用二分，而且因为去重的原因，我们的二分不用考虑重复数字。

模板代码：

// 去重
sort(alls.begin(), alls,end());
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()):

// 查找映射值
int find(int x)
{
	int l = 0, r = alls.size() - 1;
	
	while(l < r)
	{
		int mid = l + r >> 1;
		if( alls[mid] >= x) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	return r + 1; // 这里+1是映射到了1,2,...,n
}

例题

思路：

将原来的[-10e9, 10e9]区间vector<pair<int, int>> alls通过离散化映射到[1, 3*10e5]区间int a[N]，然后通过前缀和求取a[N]的区间和。

这里N为什么是3*10e5呢：

• 因为题目后面对离散化数字进行了m次访问求区间和，求区间和是通过前缀和来做，因前缀和数组int s[N]在初始化过程是需要访问离散化数组的，因此访问的左右端点也需要加入到离散化数组中。

• 这里的左右端点数据量为2*m，即2*10e5，原本的数据个数是n，即10e5，故最终的N = 2*m + n = 3 * 10e5

代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 3*10e5 + 10;

int a[N], s[N]; // a代表离散化后的数组，s是a的前缀和

typedef pair<int, int> PII;

vector<PII> adds, query;
vector<int> alls;

int find(int x)
{
    int l=0, r = alls.size() - 1;
    
    while(l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if(alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r+1; // 这里加1是为了将x映射到1,2,...,n的区间
}

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n ; i ++ )
    {
        int x, c;
        cin >> x >> c;
        adds.push_back({x, c});
        
        alls.push_back(x);
    }
    
    for(int i = 0 ; i < m ; i ++ )
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        query.push_back({l, r});
        
        alls.push_back(l);
        alls.push_back(r);
    }
    
    // 去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());
    
    // 累加
    for(auto item : adds)
    {
        int x = find(item.first);
        a[x] += item.second;
    }
    
    // 求前缀和
    for(int i = 1; i <= alls.size() ; i ++ )
    {
        s[i] = s[i-1] + a[i];
    }
    
    // 输出访问的前缀和
    for(auto item : query)
    {
        int l = find(item.first), r = find(item.second);
        cout << s[r] - s[l-1] << endl;
    }
    
    return 0;
}