压缩感知常用的重建算法

news2024/11/14 2:13:50

重建算法的基本概念

在压缩感知（Compressed Sensing, CS）框架中，重建算法是指将从原始信号中以低于奈奎斯特率采集得到的压缩测量值恢复成完整信号的数学和计算过程。由于信号在采集过程中被压缩，因此重建算法的目标是找到最符合测量值的稀疏信号表示。

重建算法的作用

重建算法的核心任务是解决一个逆问题：在知道部分信息的情况下（即压缩感知测量值），如何恢复出完整的信号信息。这个问题往往是不适定的，因为可能存在多个信号与同一组测量值相对应。因此，重建算法需要依赖于信号的稀疏性属性来实现唯一或近似唯一的解。

重建算法的使用形式

重建算法通常需要针对待解决的优化问题进行设计，这个问题一般形式化为一个最小化问题，其中包含一个代表测量误差的范数项和一个代表稀疏性的范数项。其中，l0范数是衡量向量中非零元素个数的范数，它能够精确描述稀疏性，但相关优化问题通常是NP难的；l1范数是向量元素绝对值之和，它是l0范数的最佳凸近似，可以通过凸优化方法求解。

常见的重建算法

基追踪（Basis Pursuit, BP）
- BP算法寻求最小化l1范数的解，它将l0最小化问题转化为l1最小化问题。BP通常通过线性规划或凸优化算法来解决。
匹配追踪（Matching Pursuit, MP）和正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）
- MP和OMP是贪婪算法，逐步选择与残差最匹配的字典原子（基向量），OMP在每个步骤中还会对已选原子集合做正交化处理。这些算法相对简单，计算效率高，尤其适合于信号非常稀疏的情况。
迭代阈值算法（Iterative Thresholding）
- 这类算法通过交替执行阈值操作和数据保真度更新。它们简单、易于实施，并且可以很自然地并行化。
压缩感知重建算法（Compressive Sampling Matching Pursuit, CoSaMP）和迭代硬阈值算法（Iterative Hard Thresholding, IHT）
- CoSaMP和IHT是迭代算法，它们通过迭代精修解决方案来提高重建精度。CoSaMP在每次迭代中选择多个原子，并利用最小二乘法更新解决方案。
稀疏贝叶斯学习（Sparse Bayesian Learning, SBL）
- SBL是一种基于概率模型的方法，通过引入先验知识和贝叶斯推断框架来估计稀疏信号。它可以提供比其他技术更准确的估计，但计算复杂度较高。
总变分最小化（Total Variation Minimization, TVM）
- TVM特别适用于图像重建，它利用图像中像素值变化的稀疏性，通过最小化图像的总变分（像素值差的l1范数）来恢复信号。
最小绝对收缩和选择算子（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator, LASSO）
- LASSO是一种结合了稀疏性和正则化的方法，通过在最小化问题中增加一个l1范数惩罚项，求解能同时满足数据保真和稀疏性的解。

结论

每种重建算法都有它的优势和适用场景。在实际应用中，BP算法提供了理论上的性能保证，但在大规模问题上可能会受限于计算效率；OMP和其它贪婪算法则在计算效率和实施简单性上具有优势；迭代算法如CoSaMP和IHT在恢复精度和算法稳定性方面表现良好；SBL提供了精确的估计，但在计算上更为复杂；TVM在图像处理中特别有用；LASSO在统计学习和模型选择中有着广泛应用。选择合适的重建算法需要考虑信号的具体特性、问题的规模和计算资源。未来的研究将继续在理论性能、计算效率和应用的广泛性之间寻找最佳平衡点。

我的图书

下面两本书欢迎大家参考学习。

OpenCV轻松入门

李立宗，OpenCV轻松入门，电子工业出版社，2023
本书基于面向 Python 的 OpenCV(OpenCV for Python)，介绍了图像处理的方方面面。本书以 OpenCV 官方文档的知识脉络为主线，并对细节进行补充和说明。书中不仅介绍了 OpenCV 函数的使用方法，还介绍了函数实现的算法原理。

在介绍 OpenCV 函数的使用方法时，提供了大量的程序示例，并以循序渐进的方式展开。首先，直观地展示函数在易于观察的小数组上的使用方法、处理过程、运行结果，方便读者更深入地理解函数的原理、使用方法、运行机制、处理结果。在此基础上，进一步介绍如何更好地使用函数处理图像。在介绍具体的算法原理时，本书尽量使用通俗易懂的语言和贴近生活的实例来说明问题，避免使用过多复杂抽象的公式。

本书适合计算机视觉领域的初学者阅读，包括在校学生、教师、专业技术人员、图像处理爱好者。
本书第1版出版后，深受广大读者朋友的喜爱，被很多高校选为教材，目前已经累计重印9次。为了更好地方便大家学习，对本书进行了修订。
在这里插入图片描述

计算机视觉40例

李立宗，计算机视觉40例，电子工业出版社，2022
近年来，我深耕计算机视觉领域的课程研发工作，在该领域尤其是OpenCV-Python方面积累了一点儿经验。因此，我经常会收到该领域相关知识点的咨询，内容涵盖图像处理的基础知识、OpenCV工具的使用、深度学习的具体应用等多个方面。为了更好地把所积累的知识以图文的形式分享给大家，我将该领域内的知识点进行了系统的整理，编写了本书。希望本书的内容能够对大家在计算机视觉方向的学习有所帮助。
本书以OpenCV-Python（the Python API for OpenCV）为工具，以案例为载体，系统介绍了计算机视觉从入门到深度学习的相关知识点。
本书从计算机视觉基础、经典案例、机器学习、深度学习、人脸识别应用等五个方面对计算机视觉的相关知识点做了全面、系统、深入的介绍。书中共介绍了40余个经典的计算机视觉案例，其中既有字符识别、信息加密、指纹识别、车牌识别、次品检测等计算机视觉的经典案例，也包含图像分类、目标检测、语义分割、实例分割、风格迁移、姿势识别等基于深度学习的计算机视觉案例，还包括表情识别、驾驶员疲劳监测、易容术、识别年龄和性别等针对人脸的应用案例。
在介绍具体的算法原理时，本书尽量使用通俗易懂的语言和贴近生活的示例来说明问题，避免使用复杂抽象的公式来介绍。
本书适合计算机视觉领域的初学者阅读，适于在校学生、教师、专业技术人员、图像处理爱好者使用。

在这里插入图片描述