今日复习内容：基础算法中的前缀和
1.定义：
- 前缀和：对于一个长度为n的列表a，前缀和为： sum[i] = a[1] + ...+a[i];
- 例如：a = [1,2,3,4,5],则它的前缀和数组sum为：[1,3,6,10,15]。
2.前缀和的性质
- sum[i] = sum[i-1] + a[i]
- a[l] + ... + a[r] = sum[i] - sum[l-1]
- 第一条性质用于处理前缀和
- 第二条性质可以在O(1)的时间内求出区间和
将其转化为代码得：
第一种方式：
# 求出a的前缀和
def get_presum(a):
n = len(a)
sum = [0] * n
sum[0] = a[0]
for i in range(1,n):
sum[i] = sum[i-1] + a[i]
return sum
# 求区间a[i]...a[r]之和
def get_sum(sum,l,r):
if 1 == 0:
return sum[r]
else:
return sum[r] - sum[l - 1]
a = [1,2,3,4,5]
sum = get_presum(a)
print('a = ',a)
print('sum = ',sum)
print(get_sum(sum,2,3))运行结果：
第二种方式：
from itertools import accumulate
# 求出a的前缀和
def get_presum(a):
sum = list(accumulate(a))
return sum
# 求区间a[i]...a[r]之和
def get_sum(sum,l,r):
if l == 0:
return sum[r]
else:
return sum[r] - sum[l-1]
a = [1,2,3,4,5]
sum = get_presum(a)
print('a = ',a)
print('sum = ',sum)
print(get_sum(sum,2,3))运行结果：
3.习题
例题1：区间次方和
题目描述：
给定一个长度为n的整数数组a以及m个查询。
每个查询包括三个整数l，r，k表示询问l至r之间所有元素的k次方和。
请对每个查询输出一个答案，答案对10^9 + 7 取模。
输入格式：
第一行输入两个整数n和m，其含义如上所述。
第二行输入n个整数a[1],a[2],...a[n]；
接下来m行，每行输入三个整数l，r，k表示一个查询。
输出格式：
输出m行，每行一个整数，表示查询的答案对10^9 + 7 取模的结果。
（k <= 5,对于每个k可以利用前缀和求解）
参考答案：
from itertools import accumulate
MOD = 1000000007
# 求出a的前缀和
def get_presum(a):
sum = list(accumulate(a))
sum = [x % MOD for x in sum]
return sum
# 求区间a[i]...a[r]之和
def get_sum(sum,l,r):
if l == 0:
return sum[r]
else:
return (sum[r] - sum[l-1] + MOD) % MOD
n,m = map(int,input().split())
a = list(map(int,input().split()))
# 存储a数组的前缀和，a数组平方的前缀和......
sum_list = []
for i in range(1,6):
tem_a = [x ** i for x in a]
sum_list.append(get_presum(tem_a))
for _ in range(m):
l,r,k = map(int,input().split())
print(get_sum(sum_list[k - 1],l - 1,r - 1))
运行结果：
这个题本身不难，需搞懂我前面所提到的知识点。
例题2：小郑的蓝桥平衡串
题目描述：
平衡串指的是字符串，其中包含两种不同字符，并且这两种字符的数量相等；
例如：ababab 和aababb都是平衡字符串，因为每种字符各有三个，而abaab和aaaab都不是平衡字符串，因为每种字符串的数量并不相等；
平衡串在密码学和计算机科学中有重要应用，比如可以用来构造哈希函数或者解决一些数学问题。
小郑拿到一个仅含义L和Q的字符串，他的任务就是找到最长平衡串，且满足平衡串的要求，即保证子串中L和Q数量的相等。
输入格式：
输入一行字符串，保证字符串中只有L和Q。
输出格式：
输出一个整数，为输入字符串中最长平衡串的长度。
思路：
可以将L和Q转换成数字，例如L为+1，Q为-1,问题就变为求区间和为0的最长区间，再枚举所有的区间即可。
参考答案：
from itertools import accumulate
MOD = 1000000007
# 求出a的前缀和
def get_presum(a):
sum = list(accumulate(a))
sum = [x % MOD for x in sum]
return sum
# 求区间a[i]...a[r]之和
def get_sum(sum,l,r):
if l == 0:
return sum[r]
else:
return (sum[r] - sum[l-1] + MOD) % MOD
S = input()
n = len(S)
a = []
for x in S:
if x == 'L':
a.append(1)
else:
a.append(-1)
sum = get_presum(a)
ans = 0
for l in range(n):
for r in range(l,n):
if get_sum(sum,l,r) == 0:
ans = max(ans,r - l + 1)
print(ans)运行结果：
4.二维前缀和
（1） 定义：
前缀和：对于N*M的二维列表a（下标统一从1开始），前缀和为：
（2）公式
- 下标从1，1开始，有如下统一公式：
这个公式的证明过程和《概率论与数理统计》中“概率求和公式的推导” 是一样的。
- 举个例子
把它转化成代码，如下：
def output(a,n):
for i in range(1,n+1):
print(' '.join(map(str,a[i][1:])))
n,m = map(int,input().split())
# 下标从1开始
a = [[0] * (m + 1) for i in range(n + 1)]
sum = [[0] * (m + 1) for i in range(n + 1)]
# 输入一个二维数组
for i in range(1,n + 1):
a[i] = [0] + list(map(int,input().split()))
output(a,n)
for i in range(1,n + 1):
for j in range(1,m + 1):
sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] + a[i][j] - sum[i-1][j-1]
output(sum,n)运行结果：
增加点难度 ：
（3）习题
例题1：统计子矩阵
题目描述：
给定一个N*M的矩阵A，请你统计有多少个子矩阵（最小为1*1的，最大为N*M的）满足子矩阵中所有数的和不超过给定的整数K？
输入格式：
第一行包含三个整数N，M，K；
之后N行每行包括M个整数，代表矩阵A。
输出格式：
一个整数代表答案。
对于30%的数据，N,M <= 20;
对于70%的数据，N,M <= 100;
对于100%的数据，1 <= N,M <= 500;0 <= A(ij) <= 1000;1 <= K <= 250000000。
思路：
枚举所有的子矩阵，然后利用二维前缀和求解矩阵中元素之和。
参考答案：
n, m, k = map(int,input().split())
# 下标从1开始
a = [[0] * (m + 1) for i in range(n + 1)]
sum = [[0] * (m + 1) for i in range(n + 1)]
# 输入一个二维数组
for i in range(1,n + 1):
a[i] = [0] + list(map(int,input().split()))
# 求二维前缀和
for i in range(1,n + 1):
for j in range(1,m + 1):
sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + a[i][j]
def get_sum(sum,x1,y1,x2,y2):
return sum[x2][y2] -sum[x1-1][y2] -sum[x2][y1-1] +sum[x1-1][y1-1]
ans = 0
# 枚举左上角
for x1 in range(1,n + 1):
for y1 in range(1,m + 1):
# 枚举右上角
for x2 in range(x1,n + 1):
for y2 in range(y1,m + 1):
if get_sum(sum,x1,y1,x2,y2) <= k:
ans += 1
print(ans)运行结果：
OK，今天就写到这里了，这个题我做了50分钟左右，心累啊。
若有疑问，可以提出，一起交流。
下次继续！
