振动力学——2.单自由度系统无阻尼自由振动能量法

news2024/12/23 12:42:36

对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，可利用能量守恒原理建立自由振动微分方程，或直接求出固有频率无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能T和势V之和保持不变，即：

或 (1-9)

图1-7弹簧质量系统

动能：

势能：

对于弹簧质量系统如图1-7，为重力势能，为弹性势能。将动能T势能V代入式(1-9)可得：

(1-10)

分析(1-10)，，速度不能恒为0，因此速度恒为0，那么将不发生振动。因此有：。使用能量法得到与牛顿第二定律方法一致的运动方程。

当坐标原点选在弹簧原长处，而非静平衡位置如图1-8所示。

图1-8坐标原点在弹簧原长处

动能：

势能：

将动能T势能V代入式(1-9)可得：

有

通过以上分析可知，如果重力的影响仅改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点选取在静平衡位置处，重力项与静平衡位移相互抵消，方程中就不会出现重力项。

考虑两个特殊位置上系统的能量，一是静平衡位置，系统势能为0，动能最大。二是最大位移处，系统动能为0，势能最大。

1.3单自由度系统无阻尼自由振动瑞利法

利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。

图1-9

动能

势能

由(1-9)可得：

得固有频率：

若忽略弹簧质量mt，则求得的固有频率偏大。

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