E. Increasing Subsequences

news2024/9/22 21:18:19

Part1 寒假思维训练之每日一道构造题（思维 + 构造 + 数学）题目链接： Problem - E - Codeforces

题意：
给定一个整数 $n$ ，数字n的范围是 $[2, 1e18]$ ，闭区间，要求构造一个递增子序列（可以不连续）的数量为 $n$ 的序列，空序列也算是递增子序列，构造一个长度 $<= 200$ 的序列满足这个性质，序列元素 $abs(a[i]) <= 1e9$

Part2 题解（数学证明）:

题解（数学证明）:

求解偶数的情况，当n % 2, 先求n - 1，这样子保证了二进制不包含 ${2^{^{0}}}$ 位：

1、已知n，有： $n = \sum_{} {2^{^{i}}}$ ，设 $i \epsilon \begin{Bmatrix} i1, i2, i3, i4,i5,...,ik& \end{Bmatrix}$ ，i是n的每一个二进制位。
2、设 $j = max(\begin{Bmatrix} i1, i2, i3, i4,i5,...,ik& \end{Bmatrix})$ ，记录 $Ans$ 为上升序列的数量

3、我们观察一下构造一个递增块(后面简称为块)有什么性质，当我们只构造一个块时，定它的长度为 $x$ 的时候，它恰好有 $2^{^{x}}$ 个递增序列，那我们必然可以这样构造：先构造一个块有 $j = max(\begin{Bmatrix} i1, i2, i3, i4,i5,...,ik& \end{Bmatrix})$ 个元素，此时 $Ans = {2^{^{j}}}$ ，这个地方要注意了，此时的 $Ans$ 是包含了将序列删除成空序列的方案，所以后面统一不需要考虑删除成空。设该块元素序列为： ${a[1], a[2], a[3], ... ,a[j]}, a[1] > -1e9, a[i] < a[i + 1], i \varepsilon [1,j]$ ，往后加块时，从二进制位大的位置往小的位置枚举，当枚举到二进制位 $u$ 时，必然满足 $u < j$ ，此时取第一个块的第 $u + 1$ 个元素 $a[u + 1]$ ，此时 $Ans = {2^{^{j}}} + {2^{^{u}}}$ ，接下来是说明一下为什么：

符号说明： $a[i....j] (i <= j) <=> a[i], a[i + 1], ..., a[j]$ ， $nextu:$ u的下一个二进制位

$\because a[1...u] < a[u + 1] < a[j] \\$ ，此时统计带有 $a[u +1]$ 的递增子序列，那么必然是删除 $a[u + 1 ... j]$ 部分，剩下的 $a[1... u]$ 部分可删可不删，并且 $a[u + 1]$ 不能删除，所以就是 ${2^{^{u}}}$ 。

$\because a[u + 1] > a[nextu + 1] \\$ ，所以显然后面的直接累加上来最终得到了n。
4、最初的n如果是奇数，就在后面加上一个 $-1e9$ ，因为不用考虑删除成空，它必然小于前面的所有数字，所以贡献值就是1。

5、证毕。

Part3: 代码部分(cpp版本)：

#include <bits/stdc++.h> 
#define int long long
#define ff first 
#define ss second 
using namespace std;
using PII = pair<int, int>; 
constexpr int N = 1e5 + 10; 
constexpr int inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m; 
void solve() {
    cin >> n;
    m = n;
    if(n % 2) -- m; 
    vector<int> ans;
    int idx = -1; 
    for(int i = 62; i >= 1; i -- ) 
        if(m >> i & 1) {
            int u = 1e9 - 200; 
            for(int j = 0; j < i; j ++ ) 
                ans.push_back(u ++);
            idx = i; 
            break; 
        }  
    vector<int> us; 
    for(int i = idx - 1; i >= 1 && i != -1; i -- ) 
        if(m >> i & 1) 
            us.push_back(ans[i]);         
    if(n % 2) us.push_back(-1e9); 
    if(ans.size() + us.size() <= 200) {
        cout << ans.size() + us.size() << endl;
        for(auto t : ans) cout << t << ' ';
        for(auto t : us) cout << t << ' '; 
        cout << endl;
    }
    else cout << -1 << endl; 
}
signed main() {
    int ts; 
    cin >> ts; 
    while(ts --) 
        solve(); 
    return 0;
}

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