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[NOIP2003 提高组] 神经网络

题目背景

人工神经网络（Artificial Neural Network）是一种新兴的具有自我学习能力的计算系统，在模式识别、函数逼近及贷款风险评估等诸多领域有广泛的应用。对神经网络的研究一直是当今的热门方向，兰兰同学在自学了一本神经网络的入门书籍后，提出了一个简化模型，他希望你能帮助他用程序检验这个神经网络模型的实用性。

题目描述

在兰兰的模型中，神经网络就是一张有向图，图中的节点称为神经元，而且两个神经元之间至多有一条边相连，下图是一个神经元的例子：

神经元（编号为 $i$）

图中，$X_1\sim X_3$ 是信息输入渠道，$Y_1\sim Y_2$ 是信息输出渠道，$C_i$ 表示神经元目前的状态，$U_i$ 是阈值，可视为神经元的一个内在参数。

神经元按一定的顺序排列，构成整个神经网络。在兰兰的模型之中，神经网络中的神经元分为几层；称为输入层、输出层，和若干个中间层。每层神经元只向下一层的神经元输出信息，只从上一层神经元接受信息。下图是一个简单的三层神经网络的例子。

兰兰规定，$C_i$ 服从公式：（其中 $n$ 是网络中所有神经元的数目）

$$C_i=\left(\sum _{(j,i)\in E}{W}_{ji}{C}_j\right)-U_i$$

公式中的 $W_{ji}$（可能为负值）表示连接 $j$ 号神经元和 $i$ 号神经元的边的权值。当 $C_i$ 大于 $0$ 时，该神经元处于兴奋状态，否则就处于平静状态。当神经元处于兴奋状态时，下一秒它会向其他神经元传送信号，信号的强度为 $C_i$。

如此．在输入层神经元被激发之后，整个网络系统就在信息传输的推动下进行运作。现在，给定一个神经网络，及当前输入层神经元的状态（$C_i$），要求你的程序运算出最后网络输出层的状态。

输入格式

输入文件第一行是两个整数 $n$（$1\le n\le 100$）和 $p$。接下来 $n$ 行，每行 $2$ 个整数，第 $i+1$ 行是神经元 $i$ 最初状态和其阈值（$U_i$），非输入层的神经元开始时状态必然为 $0$。再下面 $p$ 行，每行有两个整数 $i,j$ 及一个整数 $W_{ij}$，表示连接神经元 $i,j$ 的边权值为 $W_{ij}$。

输出格式

输出文件包含若干行，每行有 $2$ 个整数，分别对应一个神经元的编号，及其最后的状态，$2$ 个整数间以空格分隔。仅输出最后状态大于 $0$ 的输出层神经元状态，并且按照编号由小到大顺序输出。

若输出层的神经元最后状态均小于等于 $0$，则输出 NULL。

样例 #1

样例输入 #1

5 6
1 0
1 0
0 1
0 1
0 1
1 3 1
1 4 1
1 5 1
2 3 1
2 4 1
2 5 1

样例输出 #1

3 1
4 1
5 1

算法思想

根据题目描述，神经网络中的神经元分输入层、输出层，和若干个中间层。每层神经元只向下一层的神经元输出信息，只从上一层神经元接受信息。

要计算的神经元状态$C_i=\left(\sum _{(j,i)\in E}{W}_{ji}{C}_j\right)-U_i$:

• $W_{ji}$表示连接 $j$ 号神经元和 $i$ 号神经元的边的权值
• $C_j$表示与$i$相连接的神经元状态。

要计算$C_i$，需要先计算所有$i$相连接的（$j\to i$）神经元状态$C_j$。也就是说，在神经元传递信息时需要按照拓扑序来计算。

因此，在求解状态之前需要先将神经元节点进行拓扑排序，得到拓扑序列，这一步可通过$\text{bfs}$实现。之后就可以通过动态规划的思想求神经元的状态了。

状态表示

• $f[i]$表示编号为 $i$的神经元的状态

初始状态

根据题目描述，神经元的初始状态：

• 输入层神经元的状态（$C_i$）
• 非输入层的神经元开始时状态必然为 $0$

由于在计算状态$f(i)$时需要减掉阈值$U_i$，不妨将所有非输入层的初始状态$-U_i$。

最终答案

最终仅输出最后状态大于 $0$ 的输出层神经元状态；若输出层的神经元最后状态均小于等于 $0$，则输出 NULL。

状态计算

根据题目表述，当 $C_i$ 大于 $0$ 时，该神经元处于兴奋状态，下一秒它会向其他神经元传送信号，信号的强度为 $C_i$。因此：

• 当$f(j)>0$时，$f[i]=\sum w_{ji}\times f(j)$

时间复杂度

• $\text{bfs}$拓扑排序的时间复杂度$O(n+m)$
• 动态规划的状态数为$n$，状态计算要遍历所有的邻边，时间复杂度为$O(n+m)$

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 110;
struct Edge
{
    int v, w;
};
vector<Edge> g[N]; //邻接表
int n, m;
int f[N], u[N];
int din[N], dout[N]; //入度和出度
int q[N]; //拓扑序列
void topsort()
{
    int hh = 0, tt = -1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        if(din[i] == 0) q[++ tt] = i; //将所有入度为0的点加入拓扑序列
    while(hh <= tt)
    {
        int u = q[hh ++];
        for(auto e: g[u])
        {
            int v = e.v;
            if(-- din[v] == 0) q[++ tt] = v; //入度减1，如果入度为0，将入拓扑序列
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        scanf("%d%d", &f[i], &u[i]);
        if(f[i] == 0) //非输入层，提前减u[i]
            f[i] -= u[i]; 
    }
    while(m --)
    {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        g[u].push_back({v, w}); //有向边
        din[v] ++, dout[u] ++;
    }
    topsort(); //拓扑排序
    //状态计算，枚举拓扑序列
    for(int k = 0; k < n; k ++)
    {
        int j = q[k];
        if(f[j] > 0) //当状态大于0，神经元处于兴奋状态
        {
            for(auto e : g[j]) //枚举相邻点
            {
                int i = e.v, w = e.w;
                f[i] += w * f[j];
            }
        }
    }
    int cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        if(dout[i] == 0 && f[i] > 0) //输出层，并且神经元处于兴奋状态
        {
            printf("%d %d\n", i, f[i]);
            cnt ++;
        }
    }
    if(cnt == 0) puts("NULL");
    return 0;
}