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B样条曲线：计算系数

尽管de Boor的算法是计算b样条曲线上对应于给定u的点的标准方法，但我们在许多情况下确实需要这些系数(例如，曲线插值和逼近)。我们将举例说明一种简单的方法。

给定一条由n+1个控制点P₀, P₁，…， P_n，和 m+1节 u₀=u₁=…=u_p=0, u_p+1, u_p+2，…， u_m-p-1, u_m-p=u_m-p+1=…= u_m=1，我们想计算系数N_0,p(u)， N_1,p(u)，…， N_n,p(u)对于任意给定在[0,1]内的u。一种简单的方法是使用下面的递归关系:

然而，这是一个非常耗时的过程。要计算N_i,p(u)，我们需要计算N_i,p-1(u)和N_i+1,p-1(u)。为了计算N_i,p-1(u)，我们需要计算N_i,p-2(u)和N_i+1,p-2(u)。为了计算N_i+1,p-1(u)，我们需要N_i+1,p-2(u)和N_i+2,p-2(u)。正如你所看到的，N_i+1,p-2(u)出现了两次，因此，它的递归计算也将被重复。随着递归的深入，将会发生更多的重复计算。这与前面一页讨论的de Casteljau算法的递归版本非常相似。因此，计算速度非常慢。

有一个简单的方法。假设u在结跨度[u_k,u_k+1)中。b样条基函数的一个重要性质是，在[u_k,u_k+1)上p次基函数最多有p+1个非零，即：N_k-p,p(u)， N_k-p+1,p(u)， N_k-p+2,p(u)，…， N_k-1,p(u)， N_k,p(u)。根据定义，在[uk,uk+1)上0次的唯一非零基函数是N_k,0(u)。因此，系数可以从N_k,0(u)以“扇出”三角形形式计算，如下所示:

由于N_k,0(u)在结跨度[u_k,u_k+1)上= 1，其他0次b样条基函数在[u_k,u_k+1)上为0，我们可以从N_k,0(u)开始，计算1次N_k-1,1(u)和N_k,1(u)的基函数。从这两个值，我们可以计算出2次的基函数N_k-2,2(u)， N_k-1,2(u)和N_k,2(u)。这个过程重复进行，直到计算出所有p+1个非零系数。

在这个计算中，像N_k-1,2(u)这样的“内部”值有一个左上前驱(即N_k-1,1(u))和一个左下前驱(即N_k,1(u));在上述三角形的右上方向边界上的值，如N_k-1,1(u)，只有左下方向的前驱(即N_k,0(u));在这个三角形的右下方向边界上的值，如N_k,2(u)，只有一个左上方向的前驱(即N_k,1(u))。因此，在右上（右下）方向边界上的值使用定义中的递归关系的第二（一）项。只有内部值同时使用这两项。基于上述观察，我们得到以下算法：

算法

上面的算法不是很高效。它的目的是用一种直观和易于理解的方式来说明这个想法。数组 N[] 保存了所有中间结果和最终结果。对于d阶，N[i]存储变量N_i,d(u)的值，最后N[k-d]， N[k-d+1]，…， N[k]包含非零系数。计算从d=1开始，因为我们知道唯一的非零基函数是N_k,0(u)，如果u在节跨度[u_k,u_k+1)中。外层循环让度d从1到p。begin后面的第一个赋值语句只用一项计算N_k-d,d(u)(即它在三角形中的左下项，N_k-d+1,d-1(u))，内层for循环只用一项计算“内部”项，外层循环的最后一个语句只用一项计算N_k,d(u)(即它的左上项，在三角形中的N_k,d-1(u))。

你能让这个算法更高效吗?