1 检错编码——奇偶校验码

1.1 奇偶校验码

奇偶校验码是一种最为简单的校验码，它用来检测数据传输过程中是否发生错误。奇偶校验码的组成：

n-1 位信息位 + 1 位校验位

有两种校验方法：奇校验和偶校验。

• 奇校验码：添上校验位后，使得 n-1 位信息位和 1 位校验位总共有奇数个“1”
  • 若 n-1 位信息位一共有偶数个“1”，则校验位为 1
  • 若 n-1 位信息位一共有奇数个“1”，则校验位为 0
• 偶校验码：添上校验位后，使得 n-1 位信息位和 1 位校验位总共有偶数个“1”
  • 若 n-1 位信息位一共有偶数个“1”，则校验位为 0
  • 若 n-1 位信息位一共有奇数个“1”，则校验位为 1

特点：只能检查出奇数个比特错误，检错能力为 50%。

1.2 相关例题

【例 1】原始数据：0110 1100。

【解】0110 1100 有偶数个“1”，则：

• 奇校验码：0110 1100 1
• 偶校验码：0110 1100 0

【注】校验位也可以加到数据的前面。

【例 2】原始数据：0100 1100。

【解】0100 1100 有奇数个“1”，则：

• 奇校验码：0100 1100 0
• 偶校验码：0100 1100 1

【例 3】原始数据：0110 1100，采用奇校验方式。

（1）若没有出错，校验位是多少？

（2）现若错误一位：0110 1101，能否检测出错误？

（3）现若错误两位：0110 1111，能否检测出错误？

（4）现若错误三位：0111 1111，能否检测出错误？

【解】（1）原始数据有偶数个“1”，所以为 0110 1100 1

（2）0110 1101 1，一共 6 个“1”，检测出错误

（3）0110 1111 1，一共 7 个“1”，检测不出错误

（4）0111 1111 1，一共 8 个“1”，检测出错误

【结论】采用奇校验方式，若原始数据出现奇数位错误时，将检测出错误；若原始数据出现偶数位错误时，将检测不出错误。

【例 4】原始数据：0110 1100，采用偶校验方式。

（1）若没有出错，校验位是多少？

（2）现若错误一位：0110 1101，能否检测出错误？

（3）现若错误两位：0110 1111，能否检测出错误？

（4）现若错误三位：0111 1111，能否检测出错误？

【解】（1）原始数据有偶数个“1”，所以为 0110 1100 0

（2）0110 1101 0，一共 5 个“1”，检测出错误

（3）0110 1111 0，一共 6 个“1”，检测不出错误

（4）0111 1111 0，一共 7 个“1”，检测出错误

【结论】采用偶校验方式，若原始数据出现奇数位错误时，将检测出错误；若原始数据出现偶数位错误时，将检测不出错误。

【例 5】字符 S 的 ASCII 码编码从低到高依次为 1100101。采用奇校验在下述收到的传输后的字符中，错误不能被检验出来的是（ ）

A. 11000011

B. 11001010

C. 11001100

D. 11010011

【解】原始数据：1100101，采用奇校验后：1100101 0

• A 项：11000011 0，偶数个“1”，能检测出错误；
• B 项：11001010 0，偶数个“1”，能检测出错误；
• C 项：11001100 0，偶数个“1”，能检测出错误；
• D 项：11010011 0，奇数个“1”，不能检测出错误。本题选 D。

2 检错编码——循环冗余码（CRC）

2.1 发送端——生成冗余码

循环冗余码（CRC）的组成：

数据部分 + 附加冗余码（FCS）

假设数据有 m 位，多项式为 G(x)，计算附加冗余码（FCS）的步骤：

• 加 0：假设 G(x) 的阶为 r，则在数据的低位添上 r 个 0；
• 模 2 除：将上面得到的数据串去除以 G(x)，得到的余数即为冗余码（共 r 位，前面的 0 不可省略）。

【注 1】有时候模 2 除法算出来的冗余码位数小于 r，此时要在附加冗余码前补 0 来满足位数。

【注 2】模 2 除法里的减法是异或操作（同 0 异 1）。

2.2 接收端——检错

对循环冗余码（CRC）除以多项式 G(x)：

• 若余数为 0，则判定这个数据没有出错，接收；
• 若余数不为 0，则判定这个数据有出错，丢弃。

2.3 相关例题

【例 1】要发送的数据 1101011011，采用 CRC 校验，多项式是 10011，那么最终发送的数据是？

【解】计算附加冗余码（FCS）的步骤：

• 添 0：多项式是 10011，则对应的多项式 G(x) = x⁴+x¹+x⁰，r = 4，所以在数据的低位添 4 个 0，即 1101011011 0000。
• 模 2 除：将 1101011011 0000 除以 10011，得到的余数即为冗余码（共 r 位，前面的 0 不可省略）：

所以，最终发送的数据为：1101011011 1110。

【例 2】在数据传输过程中，若接收方收到的二进制比特序列为 10110011010，CRC 校验生成多项式为 G(x)=x⁴+x³+1。

（1）二进制比特序列在传输中是否出现了差错？

（2）若无差错，则发送方发送的二进制比特序列和 CRC 校验码的比特序列分别是什么？若有差错，则指出发送方发送的二进制比特序列和 CRC 校验码的比特序列分别为多少位。

【解】多项式 G(x) = 11001，进行模 2 除法：10110011010 除以 11001，所得余数为 0，说明二进制比特序列在传输中没有出现差错。

因为 G(x) 的 r = 4，所以发送数据的比特序列为 1011001，CRC 校验码为 1010。

3 纠错编码——海明码

以发送数据 D = 1100 为例，说明海明码的工作流程。

3.1 确定海明码的位数

海明不等式：m + r ≤ 2r - 1

• 数据/信息为 m 位
• 冗余码/校验码为 r 位

以 D = 1100 为例，数据位 m = 4，满足海明不等式的 r_min = 3，所以 D 的海明码有 4 + 3 = 7 位，数据位（用 D_i 表示）为 4 位，校验码（用 X_i 表示）为 3 位。

3.2 确定校验位的分布

将校验码放在序号为 2ⁿ 的位置上：

序号	7	6	5	4	3	2	1
二进制序号	111	110	101	100	011	010	001
值	D7	D6	D5	X4	D3	X2	X1

然后将数据放在剩余位置上：

序号	7	6	5	4	3	2	1
二进制序号	111	110	101	100	011	010	001
值	1	1	0	X4	0	X2	X1

3.3 对校验码进行分组

• 4 号校验码 X₄：负责二进制序号为 1** 的校验，即序号为 4,5,6,7 的校验
• 2 号校验码 X₂：负责二进制序号为 *1* 的校验，即序号为 2,3,6,7 的校验
• 1 号校验码 X₁：负责二进制序号为 **1 的校验，即序号为 1,3,5,7 的校验

3.4 求出校验码的值（偶校验）

校验码自己是不需要被校验的，所以需要把自己的序号去掉，然后对自己负责的数据进行异或运算（相当于偶校验），得出校验值。

• 4 号校验码 X₄：负责序号为 5,6,7 的校验，X₄ = D₇ ⊕ D₆ ⊕ D₅ = 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 0
• 2 号校验码 X₂：负责序号为 3,6,7 的校验，X₂ = D₇ ⊕ D₆ ⊕ D₃ = 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 0
• 1 号校验码 X₁：负责序号为 3,5,7 的校验，X₁ = D₇ ⊕ D₅ ⊕ D₃ = 1 ⊕ 0 ⊕ 0 = 1

得出完整海明码：

序号	7	6	5	4	3	2	1
二进制序号	111	110	101	100	011	010	001
值	1	1	0	0	0	0	1

3.5 检错和纠错

3.5.1 纠错方法一

假设接收方接收到错误的数据为：1110001（序号 5 出错），则先把接受到数据的校验码的值重新算一遍，与正确的对比。

序号	7	6	5	4	3	2	1
二进制序号	111	110	101	100	011	010	001
值	1	1	1	0	0	0	1

• 4 号校验码 X₄：负责序号为 5,6,7 的校验，X₄ = D₇ ⊕ D₆ ⊕ D₅ = 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1（与接收到的不一样）
• 2 号校验码 X₂：负责序号为 3,6,7 的校验，X₂ = D₇ ⊕ D₆ ⊕ D₃ = 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 0
• 1 号校验码 X₁：负责序号为 3,5,7 的校验，X₁ = D₇ ⊕ D₅ ⊕ D₃ = 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 0（与接收到的不一样）

由以上结果可知：

• 序号 3,5,7 和序号 5,6,7 中发生出错，取交集为 5,7；
• 序号 3,6,7 没有发生出错，与以上集合再取一次差集，得到序号 5 出错。

3.5.2 纠错方法二

假设接收方接收到错误的数据为：1110001（序号 5 出错），则把校验组内的校验码和数据再进行一次异或运算（偶校验）。

序号	7	6	5	4	3	2	1
二进制序号	111	110	101	100	011	010	001
值	1	1	1	0	0	0	1

• 4 号校验码组：负责序号为 5,6,7 的校验，S₄ = X₄ ⊕ D₇ ⊕ D₆ ⊕ D₅ = 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1
• 2 号校验码组：负责序号为 3,6,7 的校验，S₂ = X₂ ⊕ D₇ ⊕ D₆ ⊕ D₃ = 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 0
• 1 号校验码组：负责序号为 3,5,7 的校验，S₁ = X₁ ⊕ D₇ ⊕ D₅ ⊕ D₃ = 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 1

得到：S₄S₂S₁ = 101，转换成十进制，即说明序号 5 出错了。