线性代数 --- 为什么LU分解中L矩阵的行列式一定等于正负1？

news2024/10/1 5:37:33

以下是关于下三角矩阵L的行列式一定等于+-1的一些说明

笔者的一些话(写在最前面)：

这是一篇小文，是我写的关于求解矩阵行列式的一篇文章中的一部分。之所以把这一段专门提溜出来，是因为这一段相对于原文是可以完全独立的，也是因为我自认为这是原文中很精彩的一段论证。为了便于我自己后续翻阅和查找，也是为了给我CSDN文章里面凑数，这才有了这篇文章。

证明：在LU分解中，下三角矩阵L的行列式一定是 $\pm 1$ .

在证明之前，我这里先补充几条关于行列式的性质：

性质1：对于三角矩阵而言，不论是上三角矩阵还是下三角矩阵，其行列式的值都等于主对角线上元素的乘积。

此处引用Gilbert strang的线性代数教科书《introduction to linear algebra》中，第251页处的一段关于矩阵行列式的相应说明：

截图中第七条性质说：如果矩阵A是一个三角矩阵，则矩阵A的行列式等于其对角线上元素的乘积。

$\mathbf{\left | A \right |=a_{11}*a_{22}*...*a_{nn}}$

性质2：两个矩阵A，B的积AB的行列式|AB|等于这两个矩阵各自的行列式|A|和|B|的积，即：

$\mathbf{\left | AB \right |=\left | A \right |\left | B \right |}$

性质3：单位矩阵I的行列式为1。

性质4：对矩阵进行行与行之间的交换后，需要改变原矩阵行列式的正负号。

在LU分解中，下三角阵L是高斯消元的逆过程，是多个消元矩阵E的逆矩阵 $E^{-1}$ 的乘积(形如下图中的矩阵)。

首先，根据上面说的性质1可知，所有消元矩阵E的逆矩阵 $E^{-1}$ 的行列式等于其对角线上所有元素的乘积。又因为矩阵 $E^{-1}$ 对角线上元素都是1，所以， $E^{-1}$ 的行列式一定等于1。此外，根据性质2，L的行列式等于多个 $E^{-1}$ 的行列的乘积，所以，L的行列式必然等于1，即：

$\left |L \right |=\left | {E_{1}}^{-1}\right |*\left | {E_{2}}^{-1}\right |*\left | {E_{3}}^{-1}\right |*...\left | {E_{n}}^{-1}\right |$

可是，如果对矩阵A进行高斯消元的过程中，遇到对角线上的元素为0的情况，就需要对矩阵进行行交换，则上式就会包含一些置换矩阵：

$\left |L \right |=\left | {P_{1}}^{-1}\right |*\left | {E_{1}}^{-1}\right |*\left | {E_{2}}^{-1}\right |*\left | {E_{3}}^{-1}\right |*\left | {E_{4}}^{-1}\right |*\left | {P_{2}}^{-1}\right |...\left | {E_{n}}^{-1}\right |$

这种情况下计算出来的L矩阵可就不一定是标准的下三角矩阵了，比如说下面这个矩阵：

这样一来就需要对L矩阵进行行交换，把他变成标准的下三角矩阵，以确保他的det等于1。而交换的过程需要用置换矩阵P记录下来，使得原来的L，变成PL(这时的L已经是标准的下三角矩阵了)。因为置换矩阵P只不过是对单位矩阵I进行行交换后的结果，因此，综合性质3和性质4可知，置换矩阵P的行列式的值只能是+1或-1。在结合前面得出的L矩阵的行列式一定是1的结论，最终PL的行列式只能是+1或-1。

因此，当我们基于矩阵A的LU分解计算出L的det后(必然是1)，如果高斯消元的过程中进行过行交换，还要再根据行交换的次数(置换矩阵P)去调整det的符号。

事实上，在matlab中自带的计算矩阵行列式的det函数就利用了这一点。

按照Matlab的官方说明文档，首先，他在计算矩阵的det时先调了lu分解函数，对矩阵进行分解。