向量链式求导法则

标量链式法则：

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扩展到向量：

• $y$是关于标量$u$的一个标量，$\mathbf{x}$是一个向量
  

• $y$是关于向量$\mathbf{u}$的一个标量，$\mathbf{x}$是一个向量
  

• $\mathbf{y}$是关于向量$\mathbf{u}$的一个向量，$\mathbf{x}$是一个向量
  

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实例1：

实例2：

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计算图

• 将代码分解成操作子
• 将计算表示成一个无环图

如：$z=(⟨x,w⟩-y{)}^2$表示成下面的无环图：

该图就是一个计算图

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计算图由两种构造方式：

• 显示构造：(tensorflow/Theano/MXNet)
  先将公式构造出来，最后再赋值
  

• 隐式构造：(PyTorch/MXNet)
  先赋值，再构造公式
  

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自动求导的两种模式

对于链式求导：

可以从前往后计算，也可以从后往前计算，如下所示：

反向积累：正是模型训练过程反向传播，上面的$y$相当于$loss$，从后面向前传播梯度。

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在实际中，会先正向计算并存储中间变量的值。
如下图，在正向中会计算$w、x、y、a、b、z$的值

在反向积累计算导数的时候，就会用到正向传播过程中存储的中间变量：

反向累计求导复杂度：
计算复杂度为$O(n)$，$n$为操作子的个数；内存代价也为$O(n)$，因为需要存储$n$各操作子的值。