题目

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数（即，xn）。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。

思路

快速幂算法

求 x^n最简单的方法是通过循环将 n 个 x 乘起来，依次求 x1,x2,...,x^n，时间复杂度为 O(n)。 快速幂法 可将时间复杂度降低至 O(logn) ，当指数 n为负数时，可以计算 x^-n
再取倒数得到结果，因只需要考虑 n 为自然数的情况。

快速幂 + 递归

快速幂算法 的本质是分治算法。

举个例子，如果要计算 x ^ 64 ，可以按照：

的顺序，从 x开始，每次直接把上一次的结果进行平方，计算 6 次就可以得到 x^64的值，而不需要对 x 乘 63 次 x

再举一个例子，如果要计算 x^77 ，可以按照：

的顺序，可以看到有的步骤是直接平方得来的，有的步骤在平方后还需要乘一个x，如x^4 → x^9

直接从左到右进行推导很难看出来，在将上一次的结果平方之后，还需不需要额外乘 x。

但如果从右往左看，并采用分治的思想：

• 当要计算 x^n时，可以先递归地计算出 y=x^⌊n/2⌋，其中 ⌊a⌋表示对 a 进行下取整；
• 根据递归计算的结果，如果 n 为偶数，那么 x^n = y^2；如果 n 为奇数，那么 x^n = y^2 * x
• 递归的边界为 n=0，任意数的 0 次方均为 1。

由于每次递归都会使得指数减少一半，因此递归的层数为 O(log⁡n)

java代码如下：

class Solution{
	public double myPow(double x, int n){
		//将n用long表示，因为正值和负值的取值范围不是对称的，INT_MIN = -INT_MAX - 1，假如n是INT_MIN，那么-n==INT_MAX + 1, 超出了INT_MAX的表示范围了。
		long N = n;
		//如果N为正数，直接计算，如果N为负数，则计算x^-n的倒数
		return N >= 0 ? quickMul(x,N) : 1.0 / quickMul(x,-N);
	}
	
	public double quickMul(double x, long N){
		if(N == 0){
			return 1.0;
		}
		double y = quickMul(x, N / 2);
		//如果N偶数，直接x^n == y ^ 2，如果N是奇数，则多乘一个x
		return N % 2 == 0 ? y * y : y * y * x;
	}
}