文章目录
- 二分
- 一、整数二分
- （一）整数二分思路
- （二）整数二分算法模板
- 1.左查找（寻找左侧边界）
- 2.右查找（寻找右侧边界）
- 3.总模板
- （三）题目：数的范围
- 二、浮点数二分
- （一）浮点数二分思路
- （二）浮点数二分算法模板
- （三）题目：数的三次方根
二分
一、整数二分
（一）整数二分思路
（二）整数二分算法模板
1.左查找（寻找左侧边界）
- 查找的情况分为三种：
- 当a[mid]>2时，r=mid-1，l不变
- 当a[mid]<2时，l=mid+1，r不变
- 当a[mid]==2时，如果我们一找到就返回，那么，返回的结果将会是下标4，此时并不是目标值
因此，我们需要向左缩小区间
-
向左缩小区间：就是令r=mid，l不变；此时区间变为[0,4],既保证了下标为4的2保留在区间里，又保证可以继续查找[0,4]中是否还有数字2，如果[0,3]中没有数字2了，则下标4就会是该区间唯一一个满足条件的值，也就会是最终结果。而如果[0,3]中还有其他的2，就如本例，那么下标为4的数字就会被下一次缩小区间所抛弃。
-
这里模拟一下样例：
最后l == r退出循环。此时如果r就是最终结果，那么l同时也是最终结果。另一种退出循环的方式就是l>r，l跑到r的右边，那么不管怎么说，l都不可能是最终目标。因此最后只用判断r是否是最终目标就好了。 -
判断r是否是x：如果退出循环后a[r]==x，说明找到了x，并且这个x是左边界的x；如果a[r]!=x，说明连x都找不到，返回-1；
-
结果如下：
void query_l(int a)
{
int l=0,r=n-1;
while(l<r)
{
int mid=(l+r)/2;
if(arr[mid]==a) r=mid;
else if(arr[mid]>a) r=mid-1;
else l=mid+1;
}
if(arr[l]==a) cout<<r<<" ";
else cout<<-1<<" ";
}
我们可以将等于和大于的情况合二为一，因为不管怎样最终都是要判断r是否为目标值的。所以，升级后的代码如下。
void query_l(int a)
{
int l=0,r=n-1;
while(l<r)
{
int mid=(l+r)/2;
if(arr[mid]>=a) r=mid;
else l=mid+1;
}
if(arr[l]==a) cout<<r<<" ";
else cout<<-1<<" ";
}
2.右查找（寻找右侧边界）
- 右查找就是要找到最后出现的值，不断向右缩小区间。分析过程与左查找类似。
- 需要注意的一点，右查找和左查找确定mid值的方式不同。左查找采用（l+r）/2向下取整的方式，右查找采用（l+r+1）/2向上取整的方式。
- 原因分析：
- 对于左查找：假设l=2，r=3，向下取整得到的mid=(2+3+1)/2=3，若取r=mid，那么l和r任保持原值不变，陷入死循环。
- 对于右查找：假设l=2，r=3，向下取整得到mid=(2+3)/2=2。若取l=mid，那么l和r任保持原值不变，陷入死循环。
void query_r(int a)
{
int l=0,r=n-1;
while(l<r)
{
int mid=(l+r+1)/2;
if(arr[mid]<=a) l=mid;
else r=mid-1;
}
if(arr[r]==a) cout<<r;
else cout<<-1;
}
3.总模板
bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid; // check()判断mid是否满足性质
else l = mid + 1;
}
return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
（三）题目：数的范围
给定一个按照升序排列的长度为 n的整数数组，以及 q个查询。对于每个查询，返回一个元素 k的起始位置和终止位置（位置从 0开始计数）。如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
输入格式
第一行包含整数 n和 q，表示数组长度和询问个数。
第二行包含 n个整数（均在 1∼10000范围内），表示完整数组。
接下来 q行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。
输出格式
共 q行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
数据范围
1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000
输入样例：
6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5
输出样例：
3 4
5 5
-1 -1
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n,m;
int q[N];
int main()
{
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&q[i]);
while(m--)
{
int x;
scanf("%d",&x);
int l=0,r=n-1;
while(l<r)
{
int mid=(l+r)/2;
if(q[mid]>=x)
r=mid;
else l=mid+1;
}
if(q[l]!=x)
cout<<"-1 -1"<<endl;
else
{
cout<<l<<" ";
int l=0,r=n-1;
while(l<r)
{
int mid=(l+r+1)/2;
if(q[mid]<=x)
l=mid;
else
r=mid-1;
}
cout<<l<<endl;
}
}
return 0;
}
二、浮点数二分
（一）浮点数二分思路
思路和整数二分一样，区别是浮点型二分不需要注意边界问题（也就是不需要+1）
（二）浮点数二分算法模板
bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
double bsearch_3(double l, double r)
{
const double eps = 1e-6; // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
while (r - l > eps)
{
double mid = (l + r) / 2;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid;
}
return l;
}
（三）题目：数的三次方根
题目描述
给定一个浮点数n，求它的三次方根。
输入格式
共一行，包含一个浮点数n。
输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。
注意，结果保留6位小数。
数据范围
−10000≤n≤10000
输入样例：
1000.00
输出样例：
10.000000
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
double x;
cin>>x;
double l=-100,r=100;//根据题目范围 开三次方根 估计答案大概范围
while(r-l>1e-8)
{
double mid=(l+r)/2;
if(mid*mid*mid>=x)
r=mid;
else
l=mid;
}
printf("%.6lf\n",l);
return 0;
}
