300. 最长递增子序列
300. 最长递增子序列
题目解析：
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
解题思路：、
1.
状态表⽰：
对于线性
dp
，我们可以⽤「经验 + 题⽬要求」来定义状态表⽰：
i.
以某个位置为结尾，巴拉巴拉；
ii.
以某个位置为起点，巴拉巴拉。
这⾥我们选择⽐较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题⽬要求，定义⼀个状态表⽰：
dp[i]
表⽰：以
i
位置元素为结尾的「所有⼦序列」中，最⻓递增⼦序列的⻓度。
2.
状态转移⽅程：
对于
dp[i]
，我们可以根据「⼦序列的构成⽅式」，进⾏分类讨论：
i.
⼦序列⻓度为
1
：只能⾃⼰玩了，此时
dp[i] = 1
；
ii.
⼦序列⻓度⼤于
1
：
nums[i]
可以跟在前⾯任何⼀个数后⾯形成⼦序列。
设前⾯的某⼀个数的下标为
j
，其中
0 <= j <= i - 1
。
只要
nums[j] < nums[i]
，
i
位置元素跟在
j
元素后⾯就可以形成递增序列，⻓度
为
dp[j] + 1
。
因此，我们仅需找到满⾜要求的最⼤的
dp[j] + 1
即可。
综上，
dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i])
，其中
0 <= j <= i - 1 && nums[j]
< nums[i]
。
3.
初始化：
所有的元素「单独」都能构成⼀个递增⼦序列，因此可以将
dp
表内所有元素初始化为
1
。
由于⽤到前⾯的状态，因此我们循环的时候从第⼆个位置开始即可。
4.
填表顺序：
显⽽易⻅，填表顺序「从左往右」。
5.
返回值：
由于不知道最⻓递增⼦序列以谁结尾，因此返回
dp
表⾥⾯的「最⼤值」。
解题代码：
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
int n=nums.size();
vector<int>dp(n,1);
for(int i=1;i<n;i++)
{
for(int j =0;j<i;j++)
{
if(nums[j]<nums[i])
dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
}
}
int ret=0;
for(int i=0;i<n;i++)
ret=max(ret,dp[i]);
return ret;
}
};376. 摆动序列
376. 摆动序列
题目描述：
如果连续数字之间的差严格地在正数和负数之间交替，则数字序列称为 摆动序列 。第一个差（如果存在的话）可能是正数或负数。仅有一个元素或者含两个不等元素的序列也视作摆动序列。
-
例如，
[1, 7, 4, 9, 2, 5]是一个 摆动序列 ，因为差值(6, -3, 5, -7, 3)是正负交替出现的。 - 相反，
[1, 4, 7, 2, 5]和[1, 7, 4, 5, 5]不是摆动序列，第一个序列是因为它的前两个差值都是正数，第二个序列是因为它的最后一个差值为零。
子序列 可以通过从原始序列中删除一些（也可以不删除）元素来获得，剩下的元素保持其原始顺序。
给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中作为 摆动序列 的 最长子序列的长度 。
解题思路：
1.
状态表⽰：
对于线性
dp
，我们可以⽤「经验 + 题⽬要求」来定义状态表⽰：
i.
以某个位置为结尾，巴拉巴拉；
ii.
以某个位置为起点，巴拉巴拉。
这⾥我们选择⽐较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题⽬要求，定义⼀个状态表⽰：
dp[i]
表⽰「以
i
位置为结尾的最⻓摆动序列的⻓度」。
但是，问题来了，如果状态表⽰这样定义的话，以
i
位置为结尾的最⻓摆动序列的⻓度我们没法
从之前的状态推导出来。因为我们不知道前⼀个最⻓摆动序列的结尾处是递增的，还是递减的。因
此，我们需要状态表⽰能表⽰多⼀点的信息：要能让我们知道这⼀个最⻓摆动序列的结尾是递增的
还是递减的。
解决的⽅式很简单：搞两个
dp
表就好了。
f[i]
表⽰：以
i
位置元素为结尾的所有的⼦序列中，最后⼀个位置呈现「上升趋势」的最⻓摆
动序列的⻓度；
g[i]
表⽰：以
i
位置元素为结尾的所有的⼦序列中，最后⼀个位置呈现「下降趋势」的最⻓摆
动序列的⻓度。
2.
状态转移⽅程：
由于⼦序列的构成⽐较特殊，
i
位置为结尾的⼦序列，前⼀个位置可以是
[0, i - 1]
的任意
位置，因此设
j
为
[0, i - 1]
区间内的某⼀个位置。
对于
f[i]
，我们可以根据「⼦序列的构成⽅式」，进⾏分类讨论：
i.
⼦序列⻓度为
1
：只能⾃⼰玩了，此时
f[i] = 1
；
ii.
⼦序列⻓度⼤于
1
：因为结尾要呈现上升趋势，因此需要
nums[j] < nums[i]
。在满
⾜这个条件下，
j
结尾需要呈现下降状态，最⻓的摆动序列就是
g[j] + 1
。
因此我们要找出所有满⾜条件下的最⼤的
g[j] + 1
。
综上，
f[i] = max(g[j] + 1, f[i])
，注意使⽤
g[j]
时需要判断。
对于
g[i]
，我们可以根据「⼦序列的构成⽅式」，进⾏分类讨论：
i.
⼦序列⻓度为
1
：只能⾃⼰玩了，此时
g[i] = 1
；
ii.
⼦序列⻓度⼤于
1
：因为结尾要呈现下降趋势，因此需要
nums[j] > nums[i]
。在满
⾜这个条件下，
j
结尾需要呈现上升状态，因此最⻓的摆动序列就是
f[j] + 1
。
因此我们要找出所有满⾜条件下的最⼤的
f[j] + 1
。
综上，
g[i] = max(f[j] + 1, g[i])
，注意使⽤
f[j]
时需要判断。
3.
初始化：
所有的元素「单独」都能构成⼀个摆动序列，因此可以将
dp
表内所有元素初始化为
1
。
4.
填表顺序：
毫⽆疑问是「从左往右」。
5.
返回值：
应该返回「两个
dp
表⾥⾯的最⼤值」，我们可以在填表的时候，顺便更新⼀个「最⼤值」。
解题代码：
class Solution {
public:
int wiggleMaxLength(vector<int>& nums) {
int n=nums.size();
if(n==1)return 1;
if(n==2&&nums[0]!=nums[1])return 2;
vector<int>f(n,1);
vector<int>g(n,1);
for(int i=1;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<i;j++)
{
if(nums[i]>nums[j])
f[i]=max(g[j]+1,f[i]);
if(nums[i]<nums[j])
g[i]=max(f[j]+1,g[i]);
}
}
int ret=0;
for(int i=0;i<n;i++)
ret=max(ret,max(f[i],g[i]));
return ret;
}
};
