周赛370（模拟、树形DP（正难则反）、树状数组优化DP）

文章目录

周赛370
- [2923. 找到冠军 I](https://leetcode.cn/problems/find-champion-i/)
- - 模拟
- [2924. 找到冠军 II](https://leetcode.cn/problems/find-champion-ii/)
- - 统计入度
- [2925. 在树上执行操作以后得到的最大分数](https://leetcode.cn/problems/maximum-score-after-applying-operations-on-a-tree/)
- - 正难则反 + 树形DP
- [2926. 平衡子序列的最大和](https://leetcode.cn/problems/maximum-balanced-subsequence-sum/)
- - 树状数组优化DP

周赛370

2923. 找到冠军 I

简单

一场比赛中共有 n 支队伍，按从 0 到 n - 1 编号。

给你一个下标从 0 开始、大小为 n * n 的二维布尔矩阵 grid 。对于满足 0 <= i, j <= n - 1 且 i != j 的所有 i, j ：如果 grid[i][j] == 1，那么 i 队比 j 队强；否则，j 队比 i 队强。

在这场比赛中，如果不存在某支强于 a 队的队伍，则认为 a 队将会是冠军。

返回这场比赛中将会成为冠军的队伍。

示例 1：

输入：grid = [[0,1],[0,0]]
输出：0
解释：比赛中有两支队伍。
grid[0][1] == 1 表示 0 队比 1 队强。所以 0 队是冠军。

示例 2：

输入：grid = [[0,0,1],[1,0,1],[0,0,0]]
输出：1
解释：比赛中有三支队伍。
grid[1][0] == 1 表示 1 队比 0 队强。
grid[1][2] == 1 表示 1 队比 2 队强。
所以 1 队是冠军。

提示：

n == grid.length
n == grid[i].length
2 <= n <= 100
grid[i][j] 的值为 0 或 1
对于满足 i != j 的所有 i, j ，grid[i][j] != grid[j][i] 均成立
生成的输入满足：如果 a 队比 b 队强，b 队比 c 队强，那么 a 队比 c 队强

模拟

class Solution {
    /**
    本质是某一行 i 除了 g[i][i] 其他都为 1
    */
    public int findChampion(int[][] grid) {
        int n = grid.length;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            boolean winner = true;
            for(int j = 0; j < n; j++){
                if(i == j) continue;
                if(grid[i][j] == 0){
                    winner = false;
                    break;
                }
            }
            if(winner) return i;
        }
        return -1;
    }
}

2924. 找到冠军 II

中等

一场比赛中共有 n 支队伍，按从 0 到 n - 1 编号。每支队伍也是 有向无环图（DAG） 上的一个节点。

给你一个整数 n 和一个下标从 0 开始、长度为 m 的二维整数数组 edges 表示这个有向无环图，其中 edges[i] = [ui, vi] 表示图中存在一条从 ui 队到 vi 队的有向边。

从 a 队到 b 队的有向边意味着 a 队比 b 队强，也就是 b 队比 a 队弱。

在这场比赛中，如果不存在某支强于 a 队的队伍，则认为 a 队将会是冠军。

如果这场比赛存在唯一一个冠军，则返回将会成为冠军的队伍。否则，返回 -1 。

注意

环是形如 a1, a2, ..., an, an+1 的一个序列，且满足：节点 a1 与节点 an+1 是同一个节点；节点 a1, a2, ..., an 互不相同；对于范围 [1, n] 中的每个 i ，均存在一条从节点 ai 到节点 ai+1 的有向边。
有向无环图 是不存在任何环的有向图。

示例 1：

输入：n = 3, edges = [[0,1],[1,2]]
输出：0
解释：1 队比 0 队弱。2 队比 1 队弱。所以冠军是 0 队。

示例 2：

输入：n = 4, edges = [[0,2],[1,3],[1,2]]
输出：-1
解释：2 队比 0 队和 1 队弱。3 队比 1 队弱。但是 1 队和 0 队之间不存在强弱对比。所以答案是 -1 。

提示：

1 <= n <= 100
m == edges.length
0 <= m <= n * (n - 1) / 2
edges[i].length == 2
0 <= edge[i][j] <= n - 1
edges[i][0] != edges[i][1]
生成的输入满足：如果 a 队比 b 队强，就不存在 b 队比 a 队强
生成的输入满足：如果 a 队比 b 队强，b 队比 c 队强，那么 a 队比 c 队强

统计入度

class Solution {
    public int findChampion(int n, int[][] edges) {
        List<Integer>[] g = new ArrayList[n];
        Arrays.setAll(g, e -> new ArrayList<>());
        int[] deg = new int[n];
        for(int[] e : edges){
            int x = e[0], y = e[1];
            g[x].add(y);
            deg[y] += 1;
        }
        int res = -1, cnt = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            if(deg[i] == 0){
                cnt += 1;
                res = i;
            }
        }
        return cnt == 1 ? res : -1;
    }
}

2925. 在树上执行操作以后得到的最大分数

中等

有一棵 n 个节点的无向树，节点编号为 0 到 n - 1 ，根节点编号为 0 。给你一个长度为 n - 1 的二维整数数组 edges 表示这棵树，其中 edges[i] = [ai, bi] 表示树中节点 ai 和 bi 有一条边。

同时给你一个长度为 n 下标从 0 开始的整数数组 values ，其中 values[i] 表示第 i 个节点的值。

一开始你的分数为 0 ，每次操作中，你将执行：

选择节点 i 。
将 values[i] 加入你的分数。
将 values[i] 变为 0 。

如果从根节点出发，到任意叶子节点经过的路径上的节点值之和都不等于 0 ，那么我们称这棵树是 健康的 。

你可以对这棵树执行任意次操作，但要求执行完所有操作以后树是 健康的 ，请你返回你可以获得的 最大分数 。

示例 1：

输入：edges = [[0,1],[0,2],[0,3],[2,4],[4,5]], values = [5,2,5,2,1,1]
输出：11
解释：我们可以选择节点 1 ，2 ，3 ，4 和 5 。根节点的值是非 0 的。所以从根出发到任意叶子节点路径上节点值之和都不为 0 。所以树是健康的。你的得分之和为 values[1] + values[2] + values[3] + values[4] + values[5] = 11 。
11 是你对树执行任意次操作以后可以获得的最大得分之和。

示例 2：

输入：edges = [[0,1],[0,2],[1,3],[1,4],[2,5],[2,6]], values = [20,10,9,7,4,3,5]
输出：40
解释：我们选择节点 0 ，2 ，3 和 4 。
- 从 0 到 4 的节点值之和为 10 。
- 从 0 到 3 的节点值之和为 10 。
- 从 0 到 5 的节点值之和为 3 。
- 从 0 到 6 的节点值之和为 5 。
所以树是健康的。你的得分之和为 values[0] + values[2] + values[3] + values[4] = 40 。
40 是你对树执行任意次操作以后可以获得的最大得分之和。

提示：

2 <= n <= 2 * 104
edges.length == n - 1
edges[i].length == 2
0 <= ai, bi < n
values.length == n
1 <= values[i] <= 109
输入保证 edges 构成一棵合法的树。

正难则反 + 树形DP

https://leetcode.cn/problems/maximum-score-after-applying-operations-on-a-tree/solutions/2513101/shu-xing-dpxuan-huo-bu-xuan-pythonjavacg-7aj6/

class Solution {
    /**
    正难则反，先把所有数都选上，加入到答案中，然后考虑不选哪些点权

    对于一棵以 x 的根的子树，如果这棵树是健康的，损失的最小分数是多少

    选或不选
    不选 损失根节点的情况下，损失的最小分数 = values[x]
    选   不损失根节点（根节点加到答案种） = sum(dfs(y))
    两种情况去最小值
     */
    public long maximumScoreAfterOperations(int[][] edges, int[] values) {
        List<Integer>[] g = new ArrayList[values.length];
        Arrays.setAll(g, e -> new ArrayList<>());
        g[0].add(-1); // 避免误把根节点当成叶子
        for(int[] e : edges){
            int x = e[0], y = e[1];
            g[x].add(y);
            g[y].add(x);
        }
        // 先把所有分数加入答案
        long ans = 0;
        for(int v : values) ans += v;
        return ans - dfs(0, -1, g, values);

    }

    // dfs(x) 计算以 x 为根的子树是健康时，失去的最小分数
    public long dfs(int x, int fa, List<Integer>[] g, int[] values){
        if(g[x].size() == 1){ // x 是叶子
            return values[x];
        }
        long loss = 0; // 第二种情况
        for(int y : g[x]){
            if(y != fa){
                loss += dfs(y, x, g, values);
            }
        }
        return Math.min(values[x], loss); // 两种情况取最小值
    }
}

2926. 平衡子序列的最大和

困难

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 。

nums 一个长度为 k 的 子序列 指的是选出 k 个下标 i0 < i1 < ... < ik-1 ，如果这个子序列满足以下条件，我们说它是 平衡的 ：

对于范围 [1, k - 1] 内的所有 j ，nums[ij] - nums[ij-1] >= ij - ij-1 都成立。

nums 长度为 1 的 子序列 是平衡的。

请你返回一个整数，表示 nums 平衡子序列里面的 最大元素和 。

一个数组的 子序列 指的是从原数组中删除一些元素（也可能一个元素也不删除）后，剩余元素保持相对顺序得到的非空新数组。

示例 1：

输入：nums = [3,3,5,6]
输出：14
解释：这个例子中，选择子序列 [3,5,6] ，下标为 0 ，2 和 3 的元素被选中。
nums[2] - nums[0] >= 2 - 0 。
nums[3] - nums[2] >= 3 - 2 。
所以，这是一个平衡子序列，且它的和是所有平衡子序列里最大的。
包含下标 1 ，2 和 3 的子序列也是一个平衡的子序列。
最大平衡子序列和为 14 。

示例 2：

输入：nums = [5,-1,-3,8]
输出：13
解释：这个例子中，选择子序列 [5,8] ，下标为 0 和 3 的元素被选中。
nums[3] - nums[0] >= 3 - 0 。
所以，这是一个平衡子序列，且它的和是所有平衡子序列里最大的。
最大平衡子序列和为 13 。

示例 3：

输入：nums = [-2,-1]
输出：-1
解释：这个例子中，选择子序列 [-1] 。
这是一个平衡子序列，而且它的和是 nums 所有平衡子序列里最大的。

提示：

1 <= nums.length <= 105
-109 <= nums[i] <= 109

树状数组优化DP

https://leetcode.cn/problems/maximum-balanced-subsequence-sum/solutions/2513121/shu-zhuang-shu-zu-you-hua-dp-by-endlessc-3zf4/

class Solution {
    /**
    思考过程
    nums[ij] - nums[ij-1] >= ij - ij-1
    nums[i] - nums[j] >= i - j
    ==> nums[i] - i >= nums[j] - j
    定义 b[i] = nums[i] - i
    b[i] >= b[j]  
    ==> 从 b 中选一个子序列，满足这个子序列是一个非递减的序列
    求对应的元素和的最大值
    a 3 3 5 6
    b 3 2 4 3

    定义 f[i] = 以下标 i 结尾的子序列，对应的 nums 的元素和的最大值
    转移 f[i] = f[j] + nums[i], j < i && b[j] <= b[i]

    使用值域树状数组优化，用来维护前缀最大值，设下标为x=b[i],维护的值为max(f[x], f[x-1], f[x-2]..)
    实现时，需要先把nums[i] - i离散化
     */
    public long maxBalancedSubsequenceSum(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] b = new int[n];
        for(int i = 0; i < n; i++){
            b[i] = nums[i] - i;
        }
        Arrays.sort(b);

        BIT t = new BIT(b.length+1);
        for(int i = 0; i < n; i++){
            // j 为 nums[i]-i 离散化后的值（从 1 开始）
            int j = Arrays.binarySearch(b, nums[i] - i) + 1;
            long f = Math.max(t.preMax(j), 0) + nums[i];
            t.update(j, f);
        }
        return t.preMax(b.length);
    }
}

// 树状数组模板（维护前缀最大值）
class BIT {
    private long[] tree;

    public BIT(int n) {
        tree = new long[n];
        Arrays.fill(tree, Long.MIN_VALUE);
    }

    public void update(int i, long val) {
        while (i < tree.length) {
            tree[i] = Math.max(tree[i], val);
            i += i & -i;
        }
    }

    public long preMax(int i) {
        long res = Long.MIN_VALUE;
        while (i > 0) {
            res = Math.max(res, tree[i]);
            i &= i - 1;
        }
        return res;
    }
}