LeetCode 324 周赛

2506. 统计相似字符串对的数目

给你一个下标从 0 开始的字符串数组 words 。

如果两个字符串由相同的字符组成，则认为这两个字符串相似。

例如，"abca" 和 "cba" 相似，因为它们都由字符 'a'、'b'、'c' 组成。
然而，"abacba" 和 "bcfd" 不相似，因为它们不是相同字符组成的。

请你找出满足字符串 words[i] 和 words[j] 相似的下标对 (i, j) ，并返回下标对的数目，其中 0 <= i < j <= word.length - 1 。

提示：

1 <= words.length <= 100
1 <= words[i].length <= 100
words[i] 仅由小写英文字母组成

示例：

输入：words = ["aba","aabb","abcd","bac","aabc"]
输出：2
解释：共有 2 对满足条件：
- i = 0 且 j = 1 ：words[0] 和 words[1] 只由字符 'a' 和 'b' 组成。 
- i = 3 且 j = 4 ：words[3] 和 words[4] 只由字符 'a'、'b' 和 'c' 。

思路：

统计每个字符串中都出现了哪些字母，然后用暴力进行两两比较，找出相似的字符串即可。

关键是如何表示一个字符串的组成？

比如abac，abc，这两个串都只由a，b，c三个字符串组成。我们如何表示这种特征？

由于字符串仅由小写英文字母组成，而小写英文字母一共只有26个，我们可以用一共26位的二进制数来表示某个字符串的组成。a对应二进制串的第一位，b对应第二位，…，z对应第26位。

如果某个字符在字符串中出现了，我们将对应的位置为1，否则置为0。这样对每个字符串进行一下处理，就能得到这个字符串的特征表示。然后用两重循环进行两两比较即可。

一个int有32位，足够存储这样的状态了。所以我们将每个字符串处理成一个int即可。

class Solution {
public:
    int similarPairs(vector<string>& words) {
        int n = words.size();
        vector<int> st(n); // 特征数组
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int s = 0;
            for (char c : words[i]) s |= 1 << (c - 'a');
            st[i] = s;
        }

        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                if (st[i] == st[j]) ans++;
            }
        }
        return ans;
    }
};

2507. 使用质因数之和替换后可以取到的最小值

给你一个正整数 n 。

请你将 n 的值替换为 n 的 质因数 之和，重复这一过程。

注意，如果 n 能够被某个质因数多次整除，则在求和时，应当包含这个质因数同样次数。

返回 n 可以取到的最小值。

提示：

2 <= n <= 10^5

示例：

输入：n = 15
输出：5
解释：最开始，n = 15 。
15 = 3 * 5 ，所以 n 替换为 3 + 5 = 8 。
8 = 2 * 2 * 2 ，所以 n 替换为 2 + 2 + 2 = 6 。
6 = 2 * 3 ，所以 n 替换为 2 + 3 = 5 。
5 是 n 可以取到的最小值。

思路：

模拟即可，这道题考察的是质数相关的知识（质因数分解）。

class Solution {
public:

    int smallestValue(int n) {
        int pre = 0;
        // 当处理前和处理后得到的n相同, 则无法继续变小了
        while (pre != n) {
            pre = n; // 暂存处理前的n
            int sum = 0;
            // 进行质因数分解
            for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
                while (n % i == 0) {
                    sum += i;
                    n /= i;
                }
            }
            if (n > 1) sum += n;
            n = sum; // 处理后的n
        }
        return n;
    }
};

2508. 添加边使所有节点度数都为偶数

给你一个有 n 个节点的无向图，节点编号为 1 到 n 。再给你整数 n 和一个二维整数数组 edges ，其中 edges[i] = [ai, bi] 表示节点 ai 和 bi 之间有一条边。图不一定连通。

你可以给图中添加至多两条额外的边（也可以一条边都不添加），使得图中没有重边也没有自环。

如果添加额外的边后，可以使得图中所有点的度数都是偶数，返回 true ，否则返回 false 。

点的度数是连接一个点的边的数目。

提示：

3 <= n <= 10^5
2 <= edges.length <= 10^5
edges[i].length == 2
1 <= ai, bi <= n
ai != bi
图中不会有重边

示例：

输入：n = 5, edges = [[1,2],[2,3],[3,4],[4,2],[1,4],[2,5]]
输出：true
解释：上图展示了添加一条边的合法方案。
最终图中每个节点都连接偶数条边。

思路：

这道题目，我自己做的时候是采用的分类讨论，因为最多添加2条额外的边，情况非常少。

我们的目标是添加至多2条边，使得所有点的度数都为偶数。

首先来看，添加一条边，这条边一定会连接2个点，会使得2个点的度数各自增加1。所以添加一条边，最多能干掉2个奇数度数的点。至多2条边，则最多干掉4个奇数度数的点。

我们考虑图中度数为奇数的点的个数oddNum

oddNum = 0，直接返回true
oddNum = 1，直接返回false，因为添加一条边，一定会使得2个点的度数各自加1
oddNum = 2，设这两个点为a，b
- 如果a, b之间不存在边，则直接在a, b之间连一条边即可，返回true；
- 如果a, b之间存在边，则不能连接a, b（因为会形成自环）；尝试在a, b之外找一个点x，x与a, b之间都没有边，则可以连一条边a, x，再连一条边b, x；若能找到这样的点x，返回true；
oddNum = 3，直接返回false，只要个数为奇数，都一定返回false
oddNum = 4，设这4个点为a, b, c, d

因为最多只能连2条边，所以这两条边的4个顶点都一定是a, b, c, d，关键看如何两两组合。

只需要枚举全部的组合（实际一共只有3种组合），只要有1种组合方式合法，就返回true
oddNum > 4，直接返回false

超过4后，若为奇数肯定不行；若为偶数则边不够用。

由上面的分析可知，当度数为奇数的点的个数，为奇数时，直接返回false即可；个数为偶数时，只需要对2和4的情况分类讨论一下，超过4的也直接返回false即可。

关键在于我们如何快速判断两个点之间是否存在边。这里我采用的是将一对邻接点[a, b]看成一个二维状态，然后将二维状态转成一维。

typedef long long LL;
class Solution {
public:

    // 这里若开一个二维数组, 或者二维的vector, 会超出内存限制
    unordered_set<LL> adj; // 邻接点的关系

    int n;

    bool isAdjacent(int a, int b) {
        return adj.count((LL) a * n + b);
    }

    bool isPossible(int n, vector<vector<int>>& edges) {
        this->n = n;
        // 统计每个点的度
        vector<int> dg(n + 1);
        for (auto& e : edges) {
            int a = e[0], b = e[1];
            dg[a]++;
            dg[b]++;
            adj.emplace((LL) a * n + b);
            adj.emplace((LL) b * n + a);
        }
        // 度数为奇数的点
        vector<int> oddNodes;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (dg[i] & 1) oddNodes.push_back(i);
        }

        int oddNum = oddNodes.size();
        // 若为奇数, 或超过4, 直接返回false
        if ((oddNum & 1) || oddNum > 4) return false;

        if (oddNum == 0) return true;

        // 讨论2的情况
        if (oddNum == 2) {
            int a = oddNodes[0], b = oddNodes[1];
            if (!isAdjacent(a, b)) return true; // 直接连接a,b
            // 尝试找到一个与a和b都不相邻的点
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                if (i == a || i == b) continue;
                if (!isAdjacent(i, a) && !isAdjacent(i, b)) return true; // 找到了这样的点
            }
            // 没找到
            return false;
        }

        // 讨论4的情况
        if (oddNum == 4) {
            int a = oddNodes[0], b = oddNodes[1], c = oddNodes[2], d = oddNodes[3];
            if (!isAdjacent(a, b) && !isAdjacent(c, d)) return true;
            if (!isAdjacent(a, c) && !isAdjacent(b, d)) return true;
            if (!isAdjacent(a, d) && !isAdjacent(b, c)) return true;
        }

        return false;
    }
};

2509. 查询树中环的长度

给你一个整数 n ，表示你有一棵含有 $2^n - 1$ 个节点的 完全二叉树 。根节点的编号是 1 ，树中编号在 $1, 2^{n - 1} - 1]$ 之间，编号为 val 的节点都有两个子节点，满足：

左子节点的编号为 2 * val
右子节点的编号为 2 * val + 1

给你一个长度为 m 的查询数组 queries ，它是一个二维整数数组，其中 queries[i] = [ai, bi] 。对于每个查询，求出以下问题的解：

在节点编号为 ai 和 bi 之间添加一条边。
求出图中环的长度。
删除节点编号为 ai 和 bi 之间新添加的边。

注意：

环是开始和结束于同一节点的一条路径，路径中每条边都只会被访问一次。
环的长度是环中边的数目。
在树中添加额外的边后，两个点之间可能会有多条边。

请你返回一个长度为 m 的数组 answer ，其中 answer[i] 是第 i 个查询的结果*。*

提示：

2 <= n <= 30
m == queries.length
1 <= m <= 10^5
queries[i].length == 2
1 <= ai, bi <= 2^n - 1
ai != bi

示例：

输入：n = 3, queries = [[5,3],[4,7],[2,3]]
输出：[4,5,3]
解释：上图是一棵有 23 - 1 个节点的树。红色节点表示添加额外边后形成环的节点。
- 在节点 3 和节点 5 之间添加边后，环为 [5,2,1,3] ，所以第一个查询的结果是 4 。删掉添加的边后处理下一个查询。
- 在节点 4 和节点 7 之间添加边后，环为 [4,2,1,3,7] ，所以第二个查询的结果是 5 。删掉添加的边后处理下一个查询。
- 在节点 2 和节点 3 之间添加边后，环为 [2,1,3] ，所以第三个查询的结果是 3 。删掉添加的边。

思路：

这场周赛的T4还是比较简单的。

只需要找到两个点的最近公共祖先，看一下这个公共祖先到两个点之间的路径长度，将两条路径长度相加，再加上1（新添加的边），即可。

由于是完全二叉树，找2个点的公共祖先还是比较简单的，先将两个点按照深度进行对齐，然后同时往上走即可。每次寻找最近公共祖先最多需要30次运算，而查询一共是10^5，总的复杂度为3 × 10^6，是不会超时的。所以直接这样暴力做就行了。

class Solution {
public:

    // 找到编号为x的节点所处的深度
    // 第0层的节点编号范围是[2^0, 2^1)
    // ....
    // 第n层的节点编号范围是[2^n,2^(n+1))
    // 只需要找到最后一个满足 2^n >= x 的 n 即可
    int search(int x) {
        int l = 0, r = 30;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (x >= (1 << mid)) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        return l;
    }

    // 找到a和b的最近公共祖先, 然后返回公共祖先到这两个点的距离的长度之和
    int find(int a, int b) {
        // 先将a和b进行对齐
        int mx = max(a, b), mi = min(a, b);
        int dep_mi = search(mi), dep_mx = search(mx);
        int gap = dep_mx - dep_mi, ret = gap;
        while (gap--) mx /= 2;
        // 然后一起向上走
        while (mx != mi) {
            ret += 2;
            mx /= 2;
            mi /= 2;
        }
        return ret;
    }

    vector<int> cycleLengthQueries(int n, vector<vector<int>>& queries) {
        int k = queries.size();
        vector<int> ans(k);
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            int a = queries[i][0], b = queries[i][1];
            ans[i] = find(a, b) + 1;
        }
        return ans;
    }
};