[动态规划] (九) 路径问题：LeetCode 64.最小路径和

64. 最小路径和

题目解析

(1) 从左上角到右下角

(2) 只能向右或者向下移动’

(3) 使路径上数字最小

解题思路

路径问题我们已经做过很多了，可以总结出一些经验。

我们先按照经验来做，不成功就换另一种经验。

状态表示

dp[i] [j]：以(i，j)为终点(或者起点，哪种简单且能做出题用哪种)，所得的路径和。

状态转移方程

dp(i，j)的路径和取决于==上一个位置(dp[i-1] [j])和左一个位置(dp[i] [j-1])==的较小值。

当然还要加上(i，j)当前位置的值。

所以：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

初始化和填表顺序

• 初始化

和以往一样，为了方便填表我们多开辟一列和一行。

我们是访问i-1、j-1的位置，一般也就初始化左上角周围的位置。

由于1号位置受到2号和3号的影响，为了不影响结果，我们赋值为0，让它只取原表的当前位置即可。

而4、5、6、7、8号位置，避免影响结果，初始化为整型最大值即可，因为当初始化为0时，就会取这些位置的0而不是dp数组中的值。

• 填表顺序

一列一列填即可。

返回值

我们扩大一列和一行，返回(m，n)位置的值即可。

dp[m] [n]

看到这里就可以去尝试实现代码了，之后再来看下面的内容。

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代码实现

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        //创建dp数组
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, INT_MAX));
        //初始化
        dp[1][0] = dp[0][1] = 0;
        //填表
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i-1][j-1];
        //返回值
        return dp[m][n];
    }
};

总结

细节1：方便初始化，我们将dp数组中的值都定义为INT_MAX，再把需要的位置初始化为0即可。

细节2：扩大了一列和一行，下标对应到原表(grid)时就需要调整为(i-1，j-1)。
细节3：一般最小和问题，都需要注意初始化时，记得把不相干位置初始化为整数最大值。