【高阶数据结构】并查集和图

news2024/11/18 9:35:44

目录

1.数据结构--并查集

2.数据结构--图

1.图的基础概念

2.图的简单实现

2.1.邻接矩阵的图实现

2.2.邻接表的图实现

2.3.图的DFS和BFS

2.4.最小生成树

2.4.1.Kruskal(克鲁斯卡尔算法)

2.4.2.Prim（普里姆算法）

2.5.最短路径

2.5.1.Dijkstra(迪杰斯特拉算法)

2.5.2.Bellman-Ford（贝尔曼-福特算法）

2.5.3.Floyd-Warshall（弗洛伊德算法）

1.数据结构--并查集

概念：将n个不同的元素划分成一些不相交的集合。

  1. 开始时，每个元素自成一个单元素集合；初始化
  2. 然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并；合并
  3. 在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于那个集合的运算：查询                           适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集(union-find set)

概念图：

实现：Count：遍历数组元素有多少个负数，就有几个集合

#pragma once
#include<iostream>
#include<vector>
#include<unordered_map>
using namespace std;

template<class T>
class UnionFindSet {
public:
	int Find(T val)
	{
		int index = _find_index[val];
		while (_v[index] >= 0)
			index = _v[index];
		return index;
	}
	bool Union(T x, T y)
	{
		int xi = Find(x);
		int yi = Find(y);
		//是否已经联合了
		if (xi == yi)
			return false;
		_v[xi] += _v[yi];
		_v[yi] = xi;
		return true;
	}
	//有多少个集合
	int Count()
	{
		int count = 0;
		for (auto e : _v)
		{
			if (e < 0)
				count++;
		}
		return count;
	}
public:
	UnionFindSet(const vector<T>& tmp)
	{
		for (int i = 0; i < tmp.size(); i++)
			_find_index[tmp[i]] = i;
		_v.resize(tmp.size(), -1);
	}
	~UnionFindSet()
	{}
private:
	//
	vector<T> _v;
	//哈希数组的数据和下标
	unordered_map<T, int> _find_index;
};

 测试：

#include<iostream>
#include"UnionFindSet.h"
#include<string>

using namespace std;

int main()
{
	vector<int> v{ 1,23,432,5345,8,712,44,534,645,73,862,3 };
	UnionFindSet<int> ufs(v);

	ufs.Union(1, 534);
	ufs.Union(1, 534);
	ufs.Union(73, 534);
	ufs.Union(1, 4);
	ufs.Union(23, 8);
	ufs.Union(862, 73);
	ufs.Union(3,3);
	cout << ufs.Count() << endl;
	return 0;
}

可以试试这个题：使用并查集做 

Leetcode：省份数量

class UnionFindSet{
    public:
    int Find(int x)
    {
        //找到下标
        int index = _find_index[x];
        while(_v[index] >= 0)
        {
            index = _v[index]  ;
        }
        return index;
    }

    bool Union(int x, int y)
    {
        int xi = Find(x);
        int yi = Find(y);
        //已经联合
        if(xi == yi)
            return false;
        _v[xi] += _v[yi];
        _v[yi] = xi;
        return true;
    }
    int Count()
    {
        int count = 0;
        for(auto e : _v)
        {
            if(e < 0)
                count++;
        }
        return count;
    }
    public:
    UnionFindSet(const vector<int>& v)
    {
        _v.resize(v.size(), -1);
        for(int i = 0; i<v.size();i++)
            _find_index[i] = i;
    }
    private:
    vector<int> _v;
    unordered_map<int, int> _find_index;
};

class Solution {
public:
    int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
        int n = isConnected.size();
        vector<int> v;
        for(int i =0; i<n; i++)
        {
            v.push_back(i);
        }
        UnionFindSet ufs(v);
        for(int i = 0; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<n; j++)
            {
                if(isConnected[i][j] == 1)
                {
                    ufs.Union(i,j);
                }
            }
        }
        return ufs.Count();
    }
};

2.数据结构--图

1.图的基础概念

图(graph)：由顶点(vertex)集合和顶点之间的关系(edge)构成，即G = （V, E）; 

  1. 顶点：图内的任意顶点；
  2. 边：连接两个顶点；
  3. 边的权值：连接两个顶点的边的值；

无向图和有向图

  1. 无向图：两个顶点之间的边无方向，两个边的权值用一个数值表示 ; 所以为强关系图：例如：qq和微信的互相为好友关系
  2. 有向图：两个顶点之间的边有方向，代表的是一个顶点到另一个顶点的权值  ; 所以为弱关系图：例如  抖音关注主播，主播不会同时关注你

完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边， 则称此图为无向完全图，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个 顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。  

 顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)；。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度 是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。

简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复（不构成回路的路径），则称这样的路径为简单路径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。 

生成树：一个连通图的最小连通子图（整个图连通 ，任一顶点都可以找到另一顶点）称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点 和n-1条边。 

2.图的简单实现

2.1.邻接矩阵的图实现

优势：使用邻接矩阵可以快速查找（时间复杂度O(1)）两个顶点是否有边且边的权值；劣势：查找顶点的度时（时间复杂度为O（N））;

设计理念：有n个顶点，创建一个n*n的二维矩阵来放置两个顶点边的权值，为空可以使用一个权值的最大值或者最小值；

#pragma once
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
#include<queue>
#include"UnionFindSet.h"

using namespace std;

//V顶点类型，W权值类型
namespace Matrix {
	template<class V, class W, bool Direction = false, W W_MAX = INT_MAX>
	class Graph {
	public:
		typedef Graph<V, W, Direction, W_MAX> Self;
		int Find(const V& v)
		{
			auto it = _find_index.find(v);
			if (it == _find_index.end())
				return -1;
			return it->second;
		}
		bool AddEdge(const V& src, const V& des, const W& weight)
		{
			int si = Find(src);
			int di = Find(des);
			//错误顶点
			if (si == -1 || di == -1)
				return false;
			_matrix[si][di] = weight;
			if (Direction == false)
				_matrix[di][si] = weight;
			return true;
		}
		void Print()
		{
			for (int i = 0; i < _matrix.size(); i++)
			{
				for (int j = 0; j < _matrix.size(); j++)
				{
					if (_matrix[i][j] == W_MAX)
						printf("%5c", '*');
					else
						printf("%5d", _matrix[i][j]);
				}
				cout << endl;
			}
		}
	public:
		Graph(const vector<V>& v)
		{
			int n = v.size();
			_vertexs.resize(n);
			//初始化顶点集合和  顶点和下标的映射
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				_vertexs[i] = v[i];
				_find_index[v[i]] = i;
			}
			//初始邻接矩阵
			_matrix.resize(n, vector<W>(n, W_MAX));
		}
		Graph() = default;
		~Graph()
		{}
	private:
		//顶点集合
		vector<V> _vertexs;
		//查找顶点下标
		unordered_map<V, int> _find_index;
		vector<vector<W>> _matrix;

	};
}
void test()
{
    vector<string> a{ "张三", "李四", "王五", "赵六", "周七" };
    Matrix::Graph<string, int, false> g1(a);
    g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
    g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
    g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
    g1.AddEdge("王五", "周七", 30);
    g1.Print();

    g1.Print();
}
int main()
{
    test();
    return 0 ;
}

2.2.邻接表的图实现

优势：查找顶点的度时（时间复杂度为O（1），添加一个计数），更节省空间;劣势：使用邻接表查找两个顶点是否有边且边的权值（最差情况：时间复杂度O(N)），插入效率低：需要遍历链表，看是否已存在

设计理念：有n个顶点，创建有n个元素的指针矩阵，插入一个新边 遍历链表看是否存在；

namespace List {
	template<class W>
	class Node {
	public:
		int _des;
		//权值
		W _weight;
		Node<W>* _next;
		Node(int des, W w):_des(des),_weight(w),_next(nullptr)
		{}
	};
	template<class V, class W, bool Direction = false>
	class Graph{
	public:
		int Find(const V& v)
		{
			auto it = _find_index.find(v);
			if (it == _find_index.end())
				return -1;
			return it->second;
		}
		bool AddEdge(const V& src, const V& des, const W& weight)
		{
			//获取下标
			int si = Find(src);
			int di = Find(des);
			//不存在元素，fail；
			if (si == -1 || di == -1)
				return false;
			//邻接表添加边
			//数组指针是否为nullptr
			if (_table[si] == nullptr){
				//创建对象
				Node<W>* new_node = new Node<W>(di, weight);
				new_node->_next = _table[si];
				_table[si] = new_node;
				//无向图
				if (Direction == false) {
					Node<W>* new_node = new Node<W>(si, weight);
					new_node->_next = _table[di];
					_table[di] = new_node;
				}

			}
			else {//需要和邻接表内元素比较，是否已添加
				Node<W>* nd = _table[si];
				while (nd)
				{
					if (nd->_des == di)
						return false;
					else
						nd = nd->_next;
				}
				//还未添加过
				Node<W>* new_node = new Node<W>(di, weight);
				new_node->_next = _table[si];
				_table[si] = new_node;
				//无向图
				if (Direction == false) {
					Node<W>* new_node = new Node<W>(si, weight);
					new_node->_next = _table[di];
					_table[di] = new_node;
				}
			}
			return true;

		}
		void Print()
		{
			for (int i = 0; i < _table.size(); i++)
			{
				cout << _vertexs[i] << ": ";
				Node<W>* nd = _table[i];
				while (nd)
				{
					cout << _vertexs[nd->_des] << " " << nd->_weight << "   ";
					nd = nd->_next;
				}
				cout << endl;
			}
		}
	public:
		Graph(const vector<V>& v)
		{
			int n = v.size();
			_vertexs.reserve(n);
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				_vertexs.push_back(v[i]);
				_find_index[v[i]] = i;
			}
			_table.resize(n, nullptr);
		}
	private:
		//顶点集合
		vector<V> _vertexs;
		//顶点和下标的哈希
		unordered_map<V, int> _find_index;
		//邻接表
		vector<Node<W>*> _table;
	};
}
void test()
{
    vector<string> a{ "张三", "李四", "王五", "赵六", "周七" };
    List::Graph<string, int, false> g1(a);
    g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
    g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
    g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
    g1.AddEdge("王五", "周七", 30);
    g1.Print();

    g1.Print();
}
int main()
{
    test();
    return 0 ;
}

2.3.图的DFS和BFS

我使用的是邻接表的图，来实现的，邻接矩阵也差不多，把代码插入List::graph类中就可以用了；

		void _DFS(int pos, vector<bool>& visited)
		{
			visited[pos] = true;
			Node<W>* nd = _table[pos];
			while (nd)
			{
				cout << _vertexs[pos] <<  _vertexs[nd->_des] << "  ";
				if (visited[nd->_des] == false)
					_DFS(nd->_des, visited);
				nd = nd->_next;
			}
		}
		void DFS(const V& v)
		{
			int pos = _find_index[v];
			vector<bool> visited(_table.size(), false);
			_DFS(pos, visited);

		}
		void BFS(const V& v)
		{
			int pos = _find_index[v];
			vector<bool> visited(_table.size(), false);
			queue<int> q;
			q.push(pos);
			while (!q.empty())
			{
				int size = q.size();
				while (size--)
				{
					pos = q.front();
					visited[pos] = true;
					q.pop();
					Node<W>* nd = _table[pos];
					while (nd)
					{
						cout << _vertexs[pos] << _vertexs[nd->_des] << "  ";
						if (visited[nd->_des] == false)
							q.push(nd->_des);
						nd = nd->_next;
					}
					
				}
			}
		}

2.4.最小生成树

后续5种算法都使用Matrix::Graph类

最小生成树通常使用的都是无向图；

  • 最小生成树：有n个顶点，使用n-1条边，使用所有顶点连通，那么肯定是不构成回路的（构成回路不可能所有连通）；
2.4.1.Kruskal(克鲁斯卡尔算法)

贪心思想：

  1. 将所有边加入优先级队列；
  2. 拿出堆顶边（最小），使用并查集来判断是否构成回路；
  3. 每一条边都有两个顶点，将边的两个顶点使用并查集合并；
  4. 可能   不能构成最小生成树，所以结束条件为优先级队列不为空；
  5. 使用一个变量记录有多少边，最后为n-1条就是最小生成树；

并查集代码：在最上面

        //贪心思想，选权值最小的边，使用并查集判断是否构成回路
		W Kruskal(Self& minTree)
		{
			//初始化生成树
			int n = _vertexs.size();
			minTree._vertexs = _vertexs;
			minTree._find_index = _find_index;
			minTree._matrix.resize(n, vector<W>(n, W_MAX) );

			//优先级队列保存边
			priority_queue<Edge<W>, vector<Edge<W>>, greater<Edge<W>>> pq;

			//添加所有边进优先级队列
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				for (int j = i + 1; j < n; j++)
				{
					if (_matrix[i][j] != W_MAX)
						pq.push(Edge<W> (i, j, _matrix[i][j]) );
				}
			}

			//有n-1条边
			int count = 0;
			UnionFindSet<V> ufs(_vertexs);
			int totalW = 0;
			while (!pq.empty())
			{
				Edge<W> eg= pq.top();
				pq.pop();
				bool ret = ufs.Union(_vertexs[eg._src], _vertexs[eg._des]);
				if (ret == true){//不构成回路
					cout << _vertexs[eg._src] << ' ' << _vertexs[eg._des] << ' ' << eg._weight << endl;
					minTree.AddEdge(_vertexs[eg._src], _vertexs[eg._des], eg._weight);
					count++;
					totalW += eg._weight;
				}
				else {//
					cout << "构成环  " << _vertexs[eg._src] << ' ' << _vertexs[eg._des] << ' ' << eg._weight << endl;
				}
			//构成的总权值
			}
			if (count == n - 1)//能构成生成树
				return totalW;
			else//不能构成
				return W();
		}

测试代码：

void TestGraphMinTree()
{
	const char* ch = "abcdefghi";
	vector<char> v;
	for (int i = 0; i < strlen(ch); i++)
	{
		v.push_back(ch[i]);
	}
	Matrix::Graph<char, int> g(v);
	g.AddEdge('a', 'b', 4);
	g.AddEdge('a', 'h', 8);
	g.AddEdge('b', 'c', 8);
	g.AddEdge('b', 'h', 11);
	g.AddEdge('c', 'i', 2);
	g.AddEdge('c', 'f', 4);
	g.AddEdge('c', 'd', 7);
	g.AddEdge('d', 'f', 14);
	g.AddEdge('d', 'e', 9);
	g.AddEdge('e', 'f', 10);
	g.AddEdge('f', 'g', 2);
	g.AddEdge('g', 'h', 1);
	g.AddEdge('g', 'i', 6);
	g.AddEdge('h', 'i', 7);

	Matrix::Graph<char, int> kminTree;
	cout << "Kruskal:" << g.Kruskal(kminTree) << endl;
	kminTree.Print();
}
 2.4.2.Prim（普里姆算法）

贪心思想：

  1. 确定一个顶点，将这个顶点的所有边加入优先级队列，这个顶点被设置为已使用；
  2. 拿出堆顶的边，看两个顶点是否已使用，已使用代表构环；
  3. 不构环将这个顶点的所有边，插入优先级队列，这个顶点被设置为已使用；
  4. 重复这个过程，我使用哈希表来判断顶点的，使用一个bool的数组应该更好；
  5. 使用一个变量记录有多少边，最后为n-1条就是最小生成树；
        //贪心思想，按已选择的点延伸，使用set保存已使用，不使用使用过的就一定不会构环
		//不使用并查集是因为已使用节点都是连通的
		W Prim(Self &minTree, const V& val)
		{
			int n = _vertexs.size();
			//初始化mintree
			minTree._vertexs = _vertexs;
			minTree._find_index = _find_index;
			minTree._matrix.resize(n, vector<W>(n, W_MAX));
			
			int pos = _find_index[val];
			//保存已使用
			unordered_set<V> visited;
			visited.insert(pos);

			priority_queue<Edge<W>, vector<Edge<W>>, greater<Edge<W>> > pq;//
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				if(_matrix[pos][j] != W_MAX)
				pq.push(Edge<W>(pos, j, _matrix[pos][j]));
			}
			int count = 0;//边数量
			W TotalW = 0;//权值大小
			while (!pq.empty())
			{
				//获取当前最小
				Edge<W> dg = pq.top();
				pq.pop();
				int des = dg._des;
				if(visited.count(des))//存在,不可用
					cout << "构成环  " << _vertexs[dg._src] << ' ' << _vertexs[dg._des] << ' ' << dg._weight << endl;
				else {
					for (int j = 0; j < n; j++)//添加新边
					{
						if(_matrix[des][j] != W_MAX)
						pq.push(Edge<W>(des, j, _matrix[des][j]));
					}
					visited.insert(des);//已使用
					minTree._matrix[dg._src][dg._des] = dg._weight;//生成树添边
					TotalW += dg._weight;
					count++;
					cout << _vertexs[dg._src] << ' ' << _vertexs[dg._des] << ' ' << dg._weight << endl;
				}


			}
			if (count == n - 1)
				return TotalW;
			else
				return W();
		}

测试代码： 

 

void TestGraphMinTree()
{
	const char* ch = "abcdefghi";
	vector<char> v;
	for (int i = 0; i < strlen(ch); i++)
	{
		v.push_back(ch[i]);
	}
	Matrix::Graph<char, int> g(v);
	g.AddEdge('a', 'b', 4);
	g.AddEdge('a', 'h', 8);
	g.AddEdge('b', 'c', 8);
	g.AddEdge('b', 'h', 11);
	g.AddEdge('c', 'i', 2);
	g.AddEdge('c', 'f', 4);
	g.AddEdge('c', 'd', 7);
	g.AddEdge('d', 'f', 14);
	g.AddEdge('d', 'e', 9);
	g.AddEdge('e', 'f', 10);
	g.AddEdge('f', 'g', 2);
	g.AddEdge('g', 'h', 1);
	g.AddEdge('g', 'i', 6);
	g.AddEdge('h', 'i', 7);

	Matrix::Graph<char, int> kminTree;
	cout << "Prim:" << g.Prim(kminTree, 'a') << endl;
	kminTree.Print();
}

2.5.最短路径

最短路径通常使用的都是有向图；

2.5.1.Dijkstra(迪杰斯特拉算法)

贪心思想：此算法的缺点：只能用做不带负权的图（负权就是小于0），因为不带负权已确定的路径值不可能更小（一个数加正数不可能更小）；优势：性能最好（时间:O(N^2),邻接矩阵）

  1. 根据传入的顶点，将这个将他的路径值设为0；
  2. 进行遍历找到路径值最小且未使用的顶点，顶点设为已使用
  3. 遍历这个min顶点的所有边，如果这个min顶点路径值+这条边的值  < 目标顶点的路径值，更新目标顶点的路径值和  它的父亲为 这个min顶点；
  4. 循环此过程；
void Dijkstra(const V& v, vector<W>& dest, vector<int>& parentPath )
		{
			int n = _vertexs.size();
			//起始点下标
			int src = _find_index[v];
			//和初始点的最短路径
			dest.resize(n, W_MAX);
			//顶点父亲下标
			parentPath.resize(n, -1);

			dest[src] = W();//起始点置为0
			vector<bool> visited(n, false);
			//执行n次
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				int minW = W_MAX, minI = src;
				//找到当前最小顶点且未使用
				for (int j = 0; j < n; j++)
				{
					if (visited[j] == false && dest[j] < minW)
					{
						minI = j;
						minW = dest[j];
					}
				}
				//设为已使用的值，不可能更小
				visited[minI] = true;

				//延伸是否能找到更小顶点权值
				for (int j = 0; j < n; j++)
				{
					//满足未使用，两个顶点右边
					if (visited[j] == false && _matrix[minI][j] != W_MAX)
					{
						//新路径值更小
						if (dest[minI] + _matrix[minI][j] < dest[j])
						{
							//设置路径值和父顶点下标
							dest[j] = dest[minI] + _matrix[minI][j];
							parentPath[j] = minI;
						}
					}
				}
			}
		}

测试代码：

void TestGraphDijkstra()
{
	const char* ch = "syztx";
	vector<char> v;
	for (int i = 0; i < strlen(ch); i++)
	{
		v.push_back(ch[i]);
	}
	Matrix::Graph<char, int, true, INT_MAX > g(v);
	g.AddEdge('s', 't', 10);
	g.AddEdge('s', 'y', 5);
	g.AddEdge('y', 't', 3);
	g.AddEdge('y', 'x', 9);
	g.AddEdge('y', 'z', 2);
	g.AddEdge('z', 's', 7);
	g.AddEdge('z', 'x', 6);
	g.AddEdge('t', 'y', 2);
	g.AddEdge('t', 'x', 1);
	g.AddEdge('x', 'z', 4);

	vector<int> dest;
	vector<int> parentPath;
	g.Dijkstra('s', dest, parentPath);
}
2.5.2.Bellman-Ford（贝尔曼-福特算法）

暴力思想：将邻接矩阵遍历n-1次；时间复杂度:O(N^3)，优势：解决带负权的图问题

  1. 将传入的顶点的路径值设为0；
  2. 遍历整个邻接矩阵，当前顶点不为初始值且两者有边，当前顶点路径值 + 边的权值  < 目标顶点路径值，更新目标顶点的路径值和父亲；
  3. 遍历n - 1次，每个顶点最多有n - 1条边（除自己），如果一次遍历没有顶点路径值变小，结束循环；
  4. 如果带负权回路，可以无限小，没有结果，return false；
        bool BellmanFord(const V& v, vector<W>& dest, vector<int>& parentPath)
		{
			int n = _vertexs.size();
			int src = _find_index[v];//初始位置

			dest.resize(n, W_MAX);
			parentPath.resize(n, -1);

			//初始化初始位置
			dest[src] = 0;

			//为什么是n-1次：任意顶点到其他所有顶点最多n-1次，再多说明构成负权回路
			for (int k = 0; k < n - 1; k++)
			{
				bool quit = true;
				//遍历权值邻接矩阵
				for (int i = 0; i < n; i++)
				{
					for (int j = 0; j < n; j++)
					{
                        //有边且本身不为初始值
						if (_matrix[i][j] != W_MAX && dest[i] != W_MAX && dest[i] + _matrix[i][j] < dest[j])
						{
							//设置更小的路径值和父顶点下标
							dest[j] = dest[i] + _matrix[i][j];
							parentPath[j] = i;
							quit = false;
						}
					}
				}
				if (quit)
					break;
			}

			//判断是否构成负权回路
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				for (int j = 0; j < n; j++)
				{
					if (_matrix[i][j] != W_MAX && dest[i] != W_MAX && dest[i] + _matrix[i][j] < dest[j])
						return false;
				}
			}
			return true;
		}

测试代码：

void TestGraphBellmanFord()
{
	const char* ch = "syztx";
	vector<char> v;
	for (int i = 0; i < strlen(ch); i++)
	{
		v.push_back(ch[i]);
	}
	Matrix::Graph<char, int, true, INT_MAX> g(v);
	g.AddEdge('s', 't', 6);
	g.AddEdge('s', 'y', 7);
	g.AddEdge('y', 'z', 9);
	g.AddEdge('y', 'x', -3);
	g.AddEdge('z', 's', 2);
	g.AddEdge('z', 'x', 7);
	g.AddEdge('t', 'x', 5);
	g.AddEdge('t', 'y', 8);
	g.AddEdge('t', 'z', -4);
	g.AddEdge('x', 't', -2);
	vector<int> dist;
	vector<int> parentPath;
	if (g.BellmanFord('s', dist, parentPath))
	{
	}
	else
	{
		cout << "存在负权回路" << endl;
	}
}
2.5.3.Floyd-Warshall（弗洛伊德算法）

动态规划思想：时间复杂度：O(N^3);可以算出所有节点为起始点的最短路径；

  1. 初始化路径值1.自己初始化为0   2.两顶点存在边初始化为边的权值；
  2. 顶点i 到 j 存在一个顶点k，满足Edge(i, k) + Edge(k, j)  < Edge(i, j);说明有更小的路径值；
		void FloydWarShall(vector<vector<W>>& vvDest, vector<vector<int>>& vvParentPath)
		{
			int n = _vertexs.size();
			vvDest.resize(n);
			vvParentPath.resize(n);
			//初始化
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				vvDest[i].resize(n, W_MAX);
				vvParentPath[i].resize(n, -1);
			}
			//直接相连的顶点添加入二维数组
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				for (int j = 0; j < n; j++)
				{
					if (_matrix[i][j] != W_MAX)
					{
						vvDest[i][j] = _matrix[i][j];
						vvParentPath[i][j] = i;
					}
					else
					{
						vvParentPath[i][j] = -1;
					}
					if (i == j) 
					{
						vvParentPath[i][j] = -1;
						vvDest[i][j] = 0;
					}
				}
			}
			
			//动规思想：i 到 j之间存在一个k，并且i到k + k到j  < i 到 j
			for (int k = 0; k < n; k++)
			{
				for (int i = 0; i < n; i++)
				{
					for (int j = 0; j < n; j++)
					{
						if (vvDest[i][k] != W_MAX && vvDest[k][j] != W_MAX && vvDest[i][k] + vvDest[k][j] < vvDest[i][j])
						{
							
							vvDest[i][j] = vvDest[i][k] + vvDest[k][j];
							vvParentPath[i][j] = vvParentPath[k][j];
						}
					}
				}
			}

		}

测试代码：

void TestFloydWarShall()
{
	const char* ch = "12345";
	vector<char> v;
	for (int i = 0; i < strlen(ch); i++)
	{
		v.push_back(ch[i]);
	}
	Matrix::Graph<char, int, true, INT_MAX> g(v);
	g.AddEdge('1', '2', 3);
	g.AddEdge('1', '3', 8);
	g.AddEdge('1', '5', -4);
	g.AddEdge('2', '4', 1);
	g.AddEdge('2', '5', 7);
	g.AddEdge('3', '2', 4);
	g.AddEdge('4', '1', 2);
	g.AddEdge('4', '3', -5);
	g.AddEdge('5', '4', 6);
	vector<vector<int>> vvDist;
	vector<vector<int>> vvParentPath;
	g.FloydWarShall(vvDist, vvParentPath);

}

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