二叉树11：完全二叉树的节点个数

news2024/11/19 5:55:16

主要是我自己刷题的一些记录过程。如果有错可以指出哦，大家一起进步。
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leetcode链接：222. 完全二叉树的节点个数

题目：

给你一棵完全二叉树的根节点 root ，求出该树的节点个数。

完全二叉树的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2^h 个节点。

示例：

示例 1：

在这里插入图片描述

输入：root = [1,2,3,4,5,6]
输出：6

示例 2：

输入：root = []
输出：0

示例 3：

输入：root = [1]
输出：1

提示：

树中节点的数目范围是[0, 5 * 10⁴]
0 <= Node.val <= 5 * 10⁴
题目数据保证输入的树是完全二叉树

思路：

普通二叉树
首先按照普通二叉树的逻辑来求。

这道题目的递归法和求二叉树的深度写法类似，而迭代法，二叉树：层序遍历登场！遍历模板稍稍修改一下，记录遍历的节点数量就可以了。

递归遍历的顺序依然是后序（左右中）。

递归

确定递归函数的参数和返回值：参数就是传入树的根节点，返回就返回以该节点为根节点二叉树的节点数量，所以返回值为int类型。
代码如下：

int getNodesNum(TreeNode* cur) {

确定终止条件：如果为空节点的话，就返回0，表示节点数为0。
代码如下：

if (cur == NULL) return 0;

确定单层递归的逻辑：先求它的左子树的节点数量，再求右子树的节点数量，最后取总和再加一（加1是因为算上当前中间节点）就是目前节点为根节点的节点数量。
代码如下：

int leftNum = getNodesNum(cur->left);      // 左
int rightNum = getNodesNum(cur->right);    // 右
int treeNum = leftNum + rightNum + 1;      // 中
return treeNum;

所以整体C++代码如下：

// 版本一
class Solution {
private:
    int getNodesNum(TreeNode* cur) {
        if (cur == NULL) return 0;
        int leftNum = getNodesNum(cur->left);      // 左
        int rightNum = getNodesNum(cur->right);    // 右
        int treeNum = leftNum + rightNum + 1;      // 中
        return treeNum;
    }
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        return getNodesNum(root);
    }
};

代码精简之后C++代码如下：

// 版本二

class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        if (root == NULL) return 0;
        return 1 + countNodes(root->left) + countNodes(root->right);
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(log n)，算上了递归系统栈占用的空间

网上基本都是这个精简的代码版本，其实不建议大家照着这个来写，代码确实精简，但隐藏了一些内容，连遍历的顺序都看不出来，所以初学者建议学习版本一的代码，稳稳的打基础。

迭代法

那么只要模板少做改动，加一个变量result，统计节点数量就可以了


```cpp
class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        queue<TreeNode*> que;
        if (root != NULL) que.push(root);
        int result = 0;
        while (!que.empty()) {
            int size = que.size();
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                TreeNode* node = que.front();
                que.pop();
                result++;   // 记录节点数量
                if (node->left) que.push(node->left);
                if (node->right) que.push(node->right);
            }
        }
        return result;
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

完全二叉树

以上方法都是按照普通二叉树来做的，对于完全二叉树特性不了解的同学可以看这篇关于二叉树，你该了解这些！ (opens new window)，这篇详细介绍了各种二叉树的特性。

在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2^(h-1) 个节点。

大家要自己看完全二叉树的定义，很多同学对完全二叉树其实不是真正的懂了。

我来举一个典型的例子如题：
在这里插入图片描述
完全二叉树只有两种情况，情况一：就是满二叉树，情况二：最后一层叶子节点没有满。

对于情况一，可以直接用 2^树深度 - 1 来计算，注意这里根节点深度为1。

对于情况二，分别递归左孩子，和右孩子，递归到某一深度一定会有左孩子或者右孩子为满二叉树，然后依然可以按照情况1来计算。

完全二叉树（一）如图：
在这里插入图片描述
完全二叉树（二）如图：

可以看出如果整个树不是满二叉树，就递归其左右孩子，直到遇到满二叉树为止，用公式计算这个子树（满二叉树）的节点数量。

这里关键在于如何去判断一个左子树或者右子树是不是满二叉树呢？

在完全二叉树中，如果递归向左遍历的深度等于递归向右遍历的深度，那说明就是满二叉树。如图：
在这里插入图片描述
在完全二叉树中，如果递归向左遍历的深度不等于递归向右遍历的深度，则说明不是满二叉树，如图：
那有录友说了，这种情况，递归向左遍历的深度等于递归向右遍历的深度，但也不是满二叉树，如题：
在这里插入图片描述
如果这么想，大家就是对完全二叉树理解有误区了，以上这棵二叉树，它根本就不是一个完全二叉树！

判断其子树是不是满二叉树，如果是则利用公式计算这个子树（满二叉树）的节点数量，如果不是则继续递归，那么在递归三部曲中，第二部：终止条件的写法应该是这样的：

if (root == nullptr) return 0; 
// 开始根据做深度和有深度是否相同来判断该子树是不是满二叉树
TreeNode* left = root->left;
TreeNode* right = root->right;
int leftDepth = 0, rightDepth = 0; // 这里初始为0是有目的的，为了下面求指数方便
while (left) {  // 求左子树深度
    left = left->left;
    leftDepth++;
}
while (right) { // 求右子树深度
    right = right->right;
    rightDepth++;
}
if (leftDepth == rightDepth) {
    return (2 << leftDepth) - 1; // 注意(2<<1) 相当于2^2，返回满足满二叉树的子树节点数量
}

递归三部曲，第三部，单层递归的逻辑：（可以看出使用后序遍历）

int leftTreeNum = countNodes(root->left);       // 左
int rightTreeNum = countNodes(root->right);     // 右
int result = leftTreeNum + rightTreeNum + 1;    // 中
return result;

该部分精简之后代码为：

return countNodes(root->left) + countNodes(root->right) + 1;

最后整体C++代码如下：

class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) return 0;
        TreeNode* left = root->left;
        TreeNode* right = root->right;
        int leftDepth = 0, rightDepth = 0; // 这里初始为0是有目的的，为了下面求指数方便
        while (left) {  // 求左子树深度
            left = left->left;
            leftDepth++;
        }
        while (right) { // 求右子树深度
            right = right->right;
            rightDepth++;
        }
        if (leftDepth == rightDepth) {
            return (2 << leftDepth) - 1; // 注意(2<<1) 相当于2^2，所以leftDepth初始为0
        }
        return countNodes(root->left) + countNodes(root->right) + 1;
    }
};

时间复杂度：O(log n × log n)
空间复杂度：O(log n)

自己的代码

class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        if(!root) return 0;
        queue<TreeNode* >que;
        que.push(root);
        int nodeNum = 0;
        while(!que.empty()){
            int size = que.size();
            nodeNum+=size;
            for(int i=0;i<size;i++){
                TreeNode* temp = que.front();
                que.pop();
                if(temp->left) que.push(temp->left);
                if(temp->right) que.push(temp->right);
            }
        }
        return nodeNum;
    }
};

class Solution {
public:
       int countNodes(TreeNode* root) {
        if(!root)return 0;
        int leftNodeNum=countNodes(root->left);
        int rightNodeNum=countNodes(root->right);
        return 1+leftNodeNum+rightNodeNum;
    }
};


class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        if(!root) return 0;
        int leftNodeNum=0,rightNodeNum=0;
        TreeNode* left = root->left;
        TreeNode* right = root->right;

        while(left){
            left=left->left;
            leftNodeNum++;
        }

        while(right){
            right=right->right;
            rightNodeNum++;
        }
        if(leftNodeNum==rightNodeNum)  return (2 << leftNodeNum) - 1;
        return countNodes(root->left)+countNodes(root->right)+1;

    }
};