引入

树状数组和线段树具有相似的功能，但他俩毕竟还有一些区别：树状数组能有的操作，线段树一定有；线段树有的操作，树状数组不一定有。但是树状数组的代码要比线段树短，思维更清晰，速度也更快，在解决一些单点修改的问题时，树状数组是不二之选。

过程
下面这张图展示了树状数组的工作原理：

这个结构和线段树有些类似：用一个大节点表示一些小节点的信息，进行查询的时候只需要查询一些大节点而不是所有的小节点。

最上面的八个方块就代表数组 $a$。

他们下面的参差不齐的剩下的方块就代表数组 $a$ 的上级—— $c$ 数组。

从图中可以看出： 管理的是 $c_2$ $a_1$,$a_2$；
$c_4$ 管理的是 $a_1$,$a_2$,$a_3$,$a_4$；
$c_6$ 管理的是 $a_5$,$a_6$；$c_8$ 则管理全部 $8$ 个数。

如果要计算数组 $a$ 的区间和，比如说要算 $a_{51}$ ~ $a_{91}$ 的区间和，可以采用类似倍增的思想：

从 $91$ 开始往前跳，发现 $c_n$（ n 我也不确定是多少，算起来太麻烦，就意思一下）只管 $a_{91}$ 这个点，那么你就会找 $a_{90}$ ，发现 $c_{n-1}$ 管的是 $a_{90}$&$a_{89}$；那么你就会直接跳到 $a_{88}$，$c_{n-2}$ 就会管 $c_{81}$~$c_{88}$ 这些数，下次查询从 $a_{80}$ 往前找，以此类推。

用法及操作

那么问题来了，怎么知道 $c_i$ 管理的数组 $a$ 中的哪个区间呢？ 这时，我们引入一个函数——lowbit：

int lowbit(int x) {
  // x 的二进制表示中，最低位的 1 的位置。
  // lowbit(0b10110000) == 0b00010000
  //          ~~~^~~~~
  // lowbit(0b11100100) == 0b00000100
  //          ~~~~~^~~
  return x & -x;
}

注释说明了 lowbit 的意思，对于 $x=88$：$88_{(10)}=1011000_{(2)}$
发现第一个 $1$ 以及他后面的 $0$ 组成的二进制是 $1000$
$1000_{(2)}=8_{(10)}$
$1000$ 对应的十进制是 $8$，所以 $c_{88}$ 一共管理 $8$ 个 $a$ 数组中的元素。 事实上，$c_i$ 代表的区间就是 $[i-lowbit(i)+1,i]$。

在常见的计算机中，有符号数采用补码表示。在补码表示下，数 x 的相反数 -x = ~x + 1。

使用 lowbit 函数，我们可以实现很多操作，例如单点修改，将 $a_x$ 加上 $k$，只需要更新 $a_x$ 的所有上级：

void add(int x, int k) {
  while (x <= n) {  // 不能越界
    c[x] = c[x] + k;
    x = x + lowbit(x);
  }
}

前缀求和：

int getsum(int x) {  // a[1]..a[x]的和
  int ans = 0;
  while (x >= 1) {
    ans = ans + c[x];
    x = x - lowbit(x);
  }
  return ans;
}