学习技巧

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图论练习

1. 一颗树有2个2度结点，1个3度结点和3个4度结点，则1度结点数为（）
   • 知识点：握手定理：所有节点度数之和等于边数的两倍
   • 解答：$$2\times 2+1\times 3+3\times 4+x=2(2+1+3+x-1)$$
   • $$解得：x=9$$
2. 有$n$个结点$(n⩾)，m$条边的连通简单图是平面图的必要条件（）
   • 知识点：欧拉公式推论
   • 解答：若简单连通平面图有𝒏(𝒏 ≥ 𝟑)个结点，𝒎条边，则:𝒎 ≤ 𝟑𝒏 − 6
   • 证明：平面图欧拉公式：𝒏 − 𝒎 + 𝒓 = 2$n:结点数m:边数r:面数$
     • 根据欧拉公式，可知平面图的面数𝒓为$$r=m-n+2$$
     • 在简单图中，没有自环和重边，因而一个面至少要3条边围成。又由于所有面的次数之和等于边数的两倍，即$2\mathbf{m}\ge 3\mathbf{r}，解得\mathbf{r}\le \frac{2}{3}\mathbf{m}。$从而有$\mathbf{m}-\mathbf{n}+2\le \frac{2}{3}\mathbf{m}$，整理可得$\mathbf{m}\le 3\mathbf{n}-6$。
   • 解得：$m⩽3n-6$
3. 在彼得森(Peterson)图中，至少添加几条边才能构成欧拉（Euler）图（）
   
   • 知识点：欧拉图的判定——图中所有结点的度数均为偶数
   • 解答： 由于在彼特森图中有10个节点的度数为奇数,因此要在彼特森图中添加5条边才能使其成为欧拉图.
   • 下图是为原图的一些边添加多重边,使其成为欧拉图的例子,其中虚线是添加的边。
     
4. 一棵树有7片树叶，3个3度结点，其余全是4度结点，则该树有（）个4度结点。
   • 知识点：握手定理：所有节点度数之和等于边数的两倍
   • 解答：$$7+3\times 3+4\times x=2(7+3+x-1)$$
   • 解得：$x=1$
5. 五向图$G$中有$16$条边，且每个结点的度数均为2，则结点数是（）
   • 知识点：握手定理：所有节点度数之和等于边数的两倍
   • 解答：$$2\times x=16\times 2$$
   • 解得：$x=16$
6. 有向图$D=V,E$，则$V_1到V_4$长度为2的通路有（）条
   
   • 知识点：图的通路
   • 解答：观察可知，只有$1$条$V_1\to V_3\to V_4$
   • 解得：$1$条
7. 设无向图$G=<V,E>$是连通的且$|V|=n,|E|=m$，若（）则G是一棵树。
   • 知识点：树的特点/定义：连通、无回路并且$n=m+1$
   • 解得：$n=m+1$
8. 无向图G是欧拉图的条件( )
   • 知识点：欧拉图的判定：G连通且所有结点的次数为偶数
   • 解答：G连通且所有结点的次数为偶数
9. 无向树$T$中有3个3度，2个2度顶点,其与顶点都是树叶，$T$有（）片树叶。
   • 知识点：握手定理：所有节点度数之和等于边数的两倍
   • 解答：$$3\times 3+2\times 2+x=2(3+2+x-1)$$
   • 解得：$x=5$
10. 在任何图中必定有偶数个（）
    - 知识点：握手定理推论：任何图中必定有偶数个度数为奇数的结点
11. 设G=<V,E>为无线简单图，$△(G)$为图$G$中结点的最大次数，求不等式（）
    - 知识点：图层数的定义
    - 解答：$△(G)<n$
12. 设$G$是连通平面图，$G$中有6个顶点8条边，则$G$的面的数目为（）
    • 知识点：平面图欧拉公式：𝒏 − 𝒎 + 𝒓 = 2$n:结点数m:边数r:面数$
    • 解得：$r=4$
13. 
    • 知识点：根树的定义
14. n个结点的无向完全图$K_n$的边数为（）
    • 知识点：无向完全图的边数个数$\frac{n(n-1)}{2}$
15. 连通非平凡的无向图G有一条欧拉回路当且仅当图G（）
    • 知识点：欧拉回路的判定：图中没有奇度数结点
    • 解答：没有奇度数结点
16. 设$n$阶图$G$有$m$条边，每个结点度数不是$k$就是$k+1$，若$G$中有$N_k$个$k$度结点，则$N_k=（）$
    • 知识点：握手定理：所有节点度数之和等于边数的两倍
    • 解答：$N_{k+1}和N_k的度数差为1，所以N_k+2m=n(K+1)$
17. 可以构成无向简单图的度数序列为（）
    - $(2,2,2,2,2)$ (√)
    - $(1,1,2,2,3)$(×)
    - $(1,1,2,2,2)$(√)
    - $(0,1,3,3,3)$(×)
    - $(1,3,4,4,5)$(×)

• 知识点：度数序列的图化问题
  • 奇度数节点的个数为偶数。
  • 0度节点可删除后讨论。
  • 简单无向图，则$n$个节点最多有$n-1$度，不可能存在 $n$度节点。
  • 如果有$2$个及以上 $n-1$度节点就不可能由有$1$度节点。