一 、 优先级队列

有些情况下，操作的数据可能带有优先级，
一般出队列时，可能需要优先级高的元素先出队列。

数据结构应该提供两个最基本的操作，
一个是返回最高优先级对象，
一个是添加新的对象。
这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)。

PriorityQueue底层使用了堆的数据结构，
而堆实际就是在完全二叉树的基础之上进行了一些元素的调整。

一 、堆

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

堆总是一棵完全二叉树。

如果有一个关键码的集合
K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，

把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式，
存储在一 个一维数组中，

并满足：
Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，
则称为小堆(或大堆)。

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，
根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

1. 堆的存储方式

堆是一棵完全二叉树，
因此可以用 层序的规则 采用 顺序的方式 来高效存储。

对于非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储，
因为为了能够还原二叉树，空间中必须要存储空节点，
就会导致空间利用率比较低。

• 假设 i为节点在数组中的下标，则有：

  如果 i为0，则i表示的节点为根节点。

  如果 i不为0，则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2（整数除法）。

  节点i的左孩子下标为2 * i + 1 。
  （如果2 * i + 1 小于节点个数没有左孩子 ）

  节点i的右孩子下标为2 * i + 2。
  （如果2 * i + 2 小于节点个数没有右孩子）

2. 向下调整建堆

根节点的左右子树已经完全满足堆的性质，
因此只需将根节点向下调整好即可。

向下过程(以小堆为例)：

1. 让parent标记需要调整的节点，child标记parent的左孩子(注意：parent如果有孩子一定先是有左孩子)
2. 如果parent的左孩子存在，即:child < size， 进行以下操作，直到parent的左孩子不存在parent右孩子是否存在，存在找到左右孩子中最小的孩子，让child进行标
   将parent与较小的孩子child比较，如果：
   • parent小于较小的孩子child，调整结束
   • 否则：交换parent与较小的孩子child，交换完成之后，parent中大的元素向下移动，可能导致子 树不满足对的性质，因此需要继续向下调整，即parent = child；child = parent*2+1。
     
     在调整以parent为根的二叉树时，必须要满足parent的左子树和右子树已经是堆了才可以向下调整。

 public void shiftDown(int[] array, int parent) {
    // child先标记parent的左孩子，因为parent可能右左没有右
    int child = 2 * parent + 1;
    int size = array.length;
    
    while (child < size) {
        
        // 如果右孩子存在，找到左右孩子中较小的孩子,用child进行标记
        if(child+1 < size && array[child+1] < array[child]){
               child += 1;
        }
        
        // 如果双亲比其最小的孩子还小，说明该结构已经满足堆的特性了
        if (array[parent] <= array[child]) {
            break;
        }else{
            // 将双亲与较小的孩子交换
            int t = array[parent];
            array[parent] = array[child];
            array[child] = t;
            
            // parent中大的元素往下移动，可能会造成子树不满足堆的性质，因此需要继续向下调整
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
        }
    }
}

3. 堆的创建

找倒数第一个非叶子节点，从该节点位置开始往前一直到根节点，遇到一个节点，应用向下调整。

public static void createHeap(int[] array) {
    int root = ((array.length-2) 2);  //第一个非叶子节点
    for (; root >= 0; root--) {
        shiftDown(array, root);
    }
}

4. 堆的插入

1. 先将元素放入到底层空间中(注意：空间不够时需要扩容)
2. 将最后新插入的节点向上调整，直到满足堆的性质

// 插入新节点
    public void offer(int val) {
        if (isFull()) {
            elem = Arrays.copyOf(this.elem,2*this.elem.length);
        }
        this.elem[usedSize] = val;
        usedSize++;
        shiftUp(usedSize-1);
    }

// 判断堆是否满了
    public boolean isFull() {
        return usedSize == elem.length;
    }
    
// 向上调整
    public void shiftUp(int child) {
    // 找到child的双亲
     int parent = (child - 1) / 2;
    
     while (child > 0) {
        // 如果双亲比孩子大，parent满足堆的性质，调整结束
        if (array[parent] > array[child]) {
            break;
        }
        else{
            // 将双亲与孩子节点进行交换 
            int t = array[parent];
            array[parent] = array[child];
            array[child] = t;
        
            // 继续向上调增
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 1;
        }
    }
}

5. 堆的删除

堆的删除一定删除的是堆顶元素。

1. 将堆顶元素对堆中最后一个元素交换
2. 将堆中有效数据个数减少一个
3. 对堆顶元素进行向下调整

 public int pop() {
        if (isEmpty()) {
            return -1;
        }
        // 将堆顶元素与堆中最后一个元素交换
        int tmp = elem[0];
        elem[0] = elem[usedSize-1];
        elem[usedSize-1] = tmp;
        usedSize--;  // 删除最后一个元素
        // 重新向下调整建堆
        shiftDown(0,usedSize);

        return tmp; // 返回堆顶元素
}

6. 堆排序

 public void heapSort() {
        //1.建立大根堆 O(n)
        createHeap();
        //2.然后排序
        int end = usedSize-1;
        while (end > 0) {
            int tmp = elem[0];
            elem[0] = elem[end];
            elem[end] = tmp;
            shiftDown(0,end);
            end--;
        }
 }