极限

1. 上界存在，则上确界存在
2. 数列极限
   1. 定义
   2. 性质：唯一、有界（保序、夹逼、不等式性质）、保号、四则运算
   3. 判定：
      1. 单侧：单调有界
      2. 双侧：闭区间套
      3. 增量：柯西审敛
   4. 归并和收敛子列
   5. 聚点
   6. 有限覆盖原理
3. 函数极限
   1. 定义

      $x\to A$，那么$x\ne A$
      $A\ne \pm \infty$，$x$从两侧逼近$A$
      这主要与复合函数的极限传递有关

   2. 性质：唯一、有界（保序、夹逼、不等式性质）、保号、四则运算
   3. 判定：
      1. 单侧：单调有界
      2. 双侧：闭区间套
      3. 增量：柯西审敛
   4. 归并
   5. 聚点
   6. 有限覆盖原理 #亲，建议用反证法代替这个定理呢
4. 无穷小及其阶数
   1. 等价无穷的可代换性

---

函数和级数

函数

1. 连续性
   1. 一点连续
      1.一点间断（左右极限正常：第一类）
   2. 处处连续
      1. 有界（有限覆盖原理/反证）、最值（确界原理）、零点、介值
      2. 一直连续
2. 微分和导函数
   1. 可导的定义、与连续的关系、与可微的等价
   2. 求导法则：四则运算+复合+反；高阶导数：递归；高阶的：线性+莱布尼兹类组合数的形式；隐函数求导；参数方程求导。
   3. 中值定理：费马引理、罗尔定理、达布定理（介值，未必连续）、拉格朗日-柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式（皮亚诺余项-n阶导数点存在；拉格朗日余项-n+1阶导数区间存在(相当于给出了皮亚诺的具体形式)）
   4. 形态：单调性与导数的正负性（非严格等价、严格不等价）、极值与导函数零点（结合两侧导数正负性 <-免去高阶求导的方法/高阶导数）、凹凸性与导数&导函数的关系。
3. 积分和原函数
   1.黎曼可积（有界、定义域有界函数）（达布上和==达布下和）（可积条件：第一类间断点测度为0）
   2. 线性、保号、三角不等式、区间可加；中值定理：Ⅰ连续x保号Ⅱ略
   3. 换元积分（复合）、分部积分（乘积）：凑初等形式
   4. 无穷积分、无限函数积分收敛判定：比较法则及其极限形式（比较函数，推断积分的收敛性）；绝对收敛/柯西收敛。

级数（不含傅里叶级数）

1. 分类
   1. 数项
      1. 正项
      2. 任意项
   2. 函数项
2. 运算次序
   1. 加法结合律：归并原理
   2. 加法交换律
      1.黎曼定理：条件收敛趋向任何值；绝对收敛不变
   3. 对于两个级数：构成线性空间（可两两结合）；对于绝对级数构成欧式空间（柯西乘积，乘法分配，新角标是$c_k={\Sigma }_{i+j=k}{a}_i{b}_j$）
3. 正项的收敛判别
   1. 定义${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n$
   2. 单调有界则收敛：衍生为比较判别
      1. $b>a;\frac{b}{a}>1;$事实上，只要和1比较就OK；更强的条件（ab差距逐步加大）$\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}>\frac{b_n}{a_n}\leftrightarrow \frac{b_{n+1}}{b_n}>\frac{a_{n+1}}{a_n}$。极限是$0,\infty$！如果是非零常数，则敛散性相同。
      2. 与几何级数比较：柯西$\sqrt[n]{a_n}$，达朗贝尔$\frac{a_{n+1}}{a_n}$。及其极限形式。注意极限为1的的时候需要用初等方法进一步判断
      3. 与$x_n=\frac{n}{n+1}$比较：拉贝。发散方向：调和级数$\frac{a_{n+1}}{a_n}>\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=\frac{n}{n+1}$，$1-\frac{a_{n+1}}{a_n}<1-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$。收敛方向：朴素比较$x_n=\frac{n}{n+1}$。$$判别式:n(1-\frac{a_{n+1}}{a_n})=p+\frac{{\theta }_n}{n^{1+\epsilon }}$$
   3. 柯西审敛原理的推论：
      1. 迪利克雷（含莱布尼茨）$\cos n\frac{1}{\sqrt{n}}$(和有界)(单调趋于0)
      2. 阿贝尔$e^{-n}(A+\frac{1}{\sqrt{n}})$(和收敛)(单调趋于0+A)
   4. 夹逼/保号/保序：积分
   5. 无穷乘积 ：Π(t+1)<=>Σln(t+1)（不是大小关系；见阿贝尔定理）；t正负性不变时，或Σt²<∞，Σln(t+1)<=>Σt；Σt²=∞，Σt→A，Σln(t+1)发散到0。
      1. 绝对收敛：Π(|t|+1)收敛

---

（多变量）微积分

点列的收敛

• $||A-X||<ϵ$或者$X\in B_{ϵ}(A)$，注意模（长度）的意义。（同样的定义有界 等等。）向量不仅有大小，还有方向。在定义基本列 等等概念时，仅仅限制了大小，而对任意方向成立。#柯西收敛与实数公理等价，因此证明过程中会用到相关知识 <!- 实数公理的相关形式都在n维欧式空间有对应形式。最简单的拓展方式是用下面提到的按分量收敛。>
• 按分量收敛$\leftrightarrow$收敛。//这一类证明用到了三角不等式/柯西不等式。 /*其本质是:$\Sigma |x_i|$与$||X||$同阶。*/
• 核心知识：开集&闭集
  • 内点（性质类似：确界）；开集$\leftrightarrow 内点集S^o=S$，闭集$S为开集，则S^C为闭集$；并约定：$\Phi 、R^{n\times n}$都是开集（也都是闭集）。
  • 聚点（性质类似：函数极限；注意：互不相同 的点）；$导集S^{\prime }；闭包S^{—}=S^{\prime }\bigcup S$；闭集$\leftrightarrow 闭包集S^{—}=S$。
  • 构造开闭集：$S^o，S^{—}$
  • 直径 d i a m ( S ) = m a x { ∣ ∣ A − B ∣ ∣ : A , B ∈ S } diam(S)=max\{||A-B||:A,B\in S\} diam(S)=max{∣∣A−B∣∣:A,B∈S}。之前讨论的实数公理的推广，其中闭区间套；后期的积分；定义中都用到了。
  • 边界：$\partial S=S^{—}\bigcap (S^o{)}^C$。（$B_r^V(X)\bigcup S\ne \Phi$ 且 $B_r^V(X)\bigcup S^C\ne \Phi$）

多元函数的极限

首先讨论$f:D(R^n)\to R$。每少一个自由度（多一个方程），就降一个维度。
问题的难点就在于方向/路径。收敛的方向必须具有任意性。

• $\frac{0}{0}$型趋于0：分母阶数明显小于分子，且变量的阶数分步均匀。$$\frac{x^2{y}^4}{x^2+y^4}$$
• 可以转化成多个一元函数极限的关系$$x^y=e^{x\ln y}$$

证明不存在的反例：特殊路径。极限不存在，或者随路径变化

• 阶数相同的分式$$\sin \frac{x+y^2}{x^2}$$

累次极限 与 重极限的区别

• 重…存在，累次…不一定存在（可能个别不存在，也可能一个都不能存在）。

• 重…不存在，累次…不一定不存在。

  • 重…存在，累次…若存在，未必相等 。

• 重极限存在，若某一个累次极限存在 ，那么这个累次极限与重极限相等。

连续性

• 在一点连续
  • 有界、最值：闭集
  • 零点、介值：折线联通性的开集或者区域。并入边界为闭区域。利用折线和向量的首尾相连，化成单变量情形。
• 对某个变量连续
• 处处连续&一致连续

向量值函数

$f:D(R^n)\to R^m$。
$$u=F(x)=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ \dots \\ u_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x)\\ f_2(x)\\ \dots \\ f_m(x)\end{array}\right]$$
$$\{\begin{array}{l}x=r\sin \varphi \cos \theta \\ y=r\sin \varphi \sin \theta \\ z=r\cos \varphi \end{array}$$
拓展：极限、连续（处处连续）、分量
示例：复合函数的连续性的定义和证明。

微分

• 导数，只有偏导数。例如$f(x,y)在M_0=(x_0,y_0)处的导数$，与累次极限不同，$y$取到了$y_0$。记号$$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x,y)=M_0}=f_x^{\prime }(M_0)$$因此导数的摄动，仅限于正交方向。（实质上还是单变量微商。物理意义：正交切面的曲线斜率）
• 导函数，仍是二元函数。对$x$偏导，$y$视为参数。$$\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)=f_x^{\prime }(x,y)$$
• 微分形式不变性 ：仅限于一次微分。体现：一元的复合函数（链式法则）、反函数的求导，n元的（偏）导数与微分的等价性【尤其n元函数的$du$可以逐层展开，并用到乘法、加法的运算律合并同类项】。
  • 偏微分和全微分：$$df(x,y)=[\frac{\partial }{\partial x}f](x,y)dx+[\frac{\partial }{\partial y}f](x,y)dy$$ $$=f_x^{\prime }(x,y)dx+f_y^{\prime }(x,y)dy$$
  • 严格定义：$$\Delta u=A\Delta x+B\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2})$$注意：一元函数情形下微分与导数等价，是极限运算律的体现；n元情形下，$微分存在，则偏导都存在$；$偏导都存在，微分未必存在$。事实上，$偏导连续时可微$。
  • 为什么累次极限和重极限不同步？（因为函数极限是取不到$M_0$的，像$x\sin \frac{1}{y}$的性质发生改变）为什么偏微分和偏导数不同步？（因为极限除了我们讨论的分量都集中在了$M_0$，使得类似$\sqrt[4]{x^2{y}^2}$的性质改变。） //这两个反例的问题都不是出在方向上，而是一个$0$的乘积项能否取到（以掩盖非零的特殊性质），这是一元函数碰不到的问题，毕竟$y$对于$x$不是超参数，而是变量；方向更多的是影响极限的值。 //偏导连续，则可微；函数连续，则累次极限与重极限同时存在且相等。连续代表着，去心邻域的性质与该点的性质相同。一个 $0$的乘积项是否为 0，都不影响；不连续，例如以上两反例分别出现的震荡、无穷，使得 $0$的乘积项不为 0的时候相应的出现了震荡、无穷，进而是否取到 0成了决定性的因素；连续，则即使取不到 0 也会趋于0。
  • 高阶微分，出现了组合复杂度和求导次序问题。次序不同的高阶偏导数，若连续，则相等
  • 链式法则$u=u(x,y)=u(x(a,b),y(a,b))$
    • 角度1$$\frac{\partial u}{\partial a}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial a}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial a}$$
    • 角度2 $$du=u_x^{\prime }dx+u_y^{\prime }dy$$$$=u_x^{\prime }(x_a^{\prime }da+x_b^{\prime }db)+u_y^{\prime }(y_a^{\prime }da+y_b^{\prime }db)$$$$=(u_x^{\prime }{x}_a^{\prime }+u_y^{\prime }{y}_a^{\prime })da+(u_x^{\prime }{x}_b^{\prime }+u_y^{\prime }{y}_b^{\prime })db$$
    • 【例题】：求u对a的二阶偏导数。$\star$注意都是函数！最基本的单元是导函数；我们的任务说白了也就是，把式子拆分成基本单元，每个单元的
    • 一些记号。$z=f(x,g(x,t))$中$\frac{\partial z}{\partial x}$有歧义。$\frac{\partial z}{\partial x}$=$\frac{\partial z}{\partial x}$+$\frac{\partial z}{\partial g}$·$\frac{\partial g}{\partial x}$。实际上，标准的写法应该是$\frac{\partial f}{\partial x}$=$\frac{\partial f}{\partial x}$·$\frac{\partial x}{\partial x}$+$\frac{\partial z}{\partial g}$·$\frac{\partial g}{\partial x}$。正如我们已经讨论的，第一个$\frac{\partial z}{\partial x}$实际上是$[\frac{\partial }{\partial x}z](x,t)$的函数；第二个$\frac{\partial z}{\partial x}$实际上是$[\frac{\partial }{\partial x}z](x,g(x,t))$的函数。z是(x,t)的函数也是(x,g)的函数，但只居其一，不居其二。为了表示清晰，所有跟 $\partial$ 号结合的，不是自变量，就是函数名。$\frac{\partial }{\partial t}$和$({)}_t^{\prime }$是针对函数的算子，仅仅作用于直接的自变量。
  • 记住莱布尼兹形式和以下形式$$d^{n}u=(dx\frac{\partial }{\partial x}+dy\frac{\partial }{\partial y}+dz\frac{\partial }{\partial z}+\dots {)}^{n}u$$
  • 泰勒公式$$f(x+a,y+b)={\Sigma }_{i=0}^n\frac{1}{i!}[(a\frac{\partial }{\partial x}+b\frac{\partial }{\partial y}{)}^{i}f(x,y)]$$
• $$u=F(x)=[u_1,u_2,\dots ,u_m]=[f_1(x),f_2(x),\dots ,f_m(x)]$$ $$\frac{\partial }{\partial x_1}F=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}{f}_1(x)\\ \frac{\partial }{\partial x_1}{f}_2(x)\\ \dots \\ \frac{\partial }{\partial x_1}{f}_m(x)\end{array}\right]$$ $$JF=[\frac{\partial }{\partial x_1}F,\frac{\partial }{\partial x_2}F,\dots ,\frac{\partial }{\partial x_n}F]$$ $$m=n:JF记作\frac{\partial (f_1,f_2,\dots ,f_n)}{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_n)}$$ 这就是大名鼎鼎的雅可比矩阵/行列式。具有线性。$n=1:JF记作DF$。由微分不变性，有如下矩阵变换：$$\frac{\partial (f_1,f_2,\dots ,f_m)}{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_n)}\cdot \frac{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_n)}{\partial (t_1,t_2,\dots ,t_k)}$$ $$=\frac{\partial (f_1,f_2,\dots ,f_m)}{\partial (t_1,t_2,\dots ,t_k)}$$ 因此$$\frac{\partial F}{\partial X}={\frac{\partial X\ast }{\partial \_F\_}}^{-1}$$我的传统，理顺函数与自变量。左侧，$F=F(X)$正常；右侧，$X=X\ast (\_F\_)$中$X\ast$是$使得项\_F\_能映射成自变量项X的函数$。 $$dF(X)=JF\cdot dX$$ $$\Delta F(X)=JF\cdot \Delta X+K_m(X),||K_m(X)||=o(||\Delta X||)$$ $$J\{\begin{array}{l}x=r\sin \varphi \cos \theta \\ y=r\sin \varphi \sin \theta \\ z=r\cos \varphi \end{array}=r^2\sin \varphi$$ $$J\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}=r$$
• 隐函数：注意自变量、因变量关系。本质，等式两侧导数相同。$K(u,x,y)=0$求$\frac{\partial u}{\partial x}$和$\frac{\partial u}{\partial y}$。