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文章目录

• 买不到的数目
• 错误票据

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一、买不到的数目OJ链接

本题思路:引理：给定a，b，若d=gcd(a,b)>1 ,则一定不能凑出最大数。结论：如果 a,b均是正整数且互质，那么由 ax+by,x≥0,y≥0 不能凑出的最大数是 ab−a−b。

证明:首先证明 ab−a−b不能被 ax+bx,x≥0,y≥0表示出。
反证法:假设 ab−a−b=ax+by，那么 ab=a(x+1)+b(y+1)，由于 a|ab,a|a(x+1)，所以 a|b(y+1)，由于 a,b 互质，所以 a|(y+1)，由于 y≥0，所以 a<=y+1，所以 b(y+1)≥ab。同理可得 a(x+1)≥ab，所以 a(x+1)+b(y+1)≥2ab>ab，矛盾。证明 ab−a−b+d,d>0一定可以表示成 ax+by,x,y≥0 的形式

#include <bits/stdc++.h>

int main()
{
  std::ios::sync_with_stdio(false);
  std::cin.tie(nullptr);std::cout.tie(nullptr);
  
  int a,b;
  std::cin>>a>>b;
  
  int d=std::lcm(a,b);
  std::cout<<d-a-b<<std::endl;
  return 0;
}

二、错误票据OJ链接

本题思路:本题通过排序的方式来枚举即可。

#include <bits/stdc++.h>

constexpr int N=10010;

int n,m;
int a[N];

int main()
{
  std::ios::sync_with_stdio(false);
  std::cin.tie(nullptr);std::cout.tie(nullptr);
  
  std::cin>>n;
  std::string line;
  
  //将第一行的回车读入
  std::getline(std::cin,line);
  while(n--){
    
    std::getline(std::cin,line);
    
    //stringstream 默认是以空格来分割字符串的
    std::stringstream ssin(line);
    while(ssin>>a[m]){
      m++;
    }
  }
  
  //排序
  std::sort(a,a+m);
  int d=-1,c=-1;//d是找出重复的,c是找出缺失的
  //从前往后枚举即可
  for(int i=0;i<m-1;i++){
    if(a[i]==a[i+1]) d=a[i];
    else if(a[i+1]==a[i]+2) c=a[i]+1;
  }
  
  std::cout<<c<<" "<<d<<std::endl;
  return 0;
}