1.Traveling Salesperson Problem(TSP)

参考：维基百科TSP

给定一些城市和城市之间的距离，找到最短路径，经过每个城市最后返回起点，组合优化问题中属于NP-hard难度。对于TSP问题有两类混合整数规划模型：Miller–Tucker–Zemlin (MTZ)形式和Dantzig–Fulkerson–Johnson (DFJ)形式，DFJ模型更好，但是在某些特定条件下，MTZ模型仍然有用。两类模型有一些通用的符号。

上述模型不能保证解中不出现子回路，我们只需要得到一个经过所有点的回路，有以下两种方式消除子回路。

Miller–Tucker–Zemlin formulation(MTZ)

Dantzig–Fulkerson–Johnson formulation(DFJ)

两种形式的完整数学模型如下：

2.Vehicle Routing Problem(VRP)

参考：维基百科VRP

为了向一组给定的客户交付货物，车队要经过的最佳路线集是什么？这是TSP问题的扩展

目标函数：

最小化全局运输成本和固定成本
最小化使用的车辆
最小化行驶时间和车辆负载的方差
最小化低服务质量的惩罚
最大化利润

VRP变种：

Vehicle Routing Problem with Profits (VRPP)：带有利润的车辆路径规划问题。与标准VRP不同，它允许车辆不必访问所有的顾客点，而是要在限定的时间内访问尽可能多的顾客以最大化利润。车辆需要从仓库出发，访问顾客，然后返回仓库，同时需要在每辆车的行驶时间内完成任务。具体问题包括Team Orienteering Problem (TOP)，Capacitated Team Orienteering Problem (CTOP)，TOP with Time Windows (TOPTW)等
Vehicle Routing Problem with Pickup and Delivery (VRPPD)：具有提货和交付的车辆路径规划问题。有一组车辆需要从仓库或起始点出发，分别访问一系列提货地点以收集货物，然后将货物交付到相应的交付地点，最终返回仓库或结束点。问题的目标通常是最小化总行驶距离、时间或成本，或者在满足一定的约束条件下，找到一组最佳的路线方案。
Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP)：容量限制车辆路径规划问题。在CVRP中，每辆车辆都有一个限定的最大携带容量
Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW)：带有时间窗口的车辆路径规划问题。在VRPTW中必须在每个配送地点的时间窗口内完成配送。时间窗口表示了在一定的时间范围内必须到达每个客户或配送地点，以满足客户的需求。
Vehicle Routing Problem with LIFO：带有LIFO（Last-In-First-Out）规则的车辆路径规划问题。在每个交付地点，要交付的货物必须是最近提取的货物。换句话说，车辆遵循LIFO规则，最后提取的货物必须首先被交付。这个规则的主要目的是减少在交付地点的装卸时间，因为不需要临时卸载除了应该被交付的货物之外的其他货物。
Vehicle Routing Problem with Multiple Trips (VRPMT)：具有多次行程的车辆路径规划问题。车辆具有更大的灵活性，可以执行多个行程，即在一次任务执行后返回仓库，然后重新出发执行另一个任务。
Open Vehicle Routing Problem (OVRP)：开放车辆路径规划问题。车辆不要求返回到起始点或仓库。
Multi-Depot Vehicle Routing Problem (MDVRP)：多仓库车辆路径规划问题。存在多个仓库，每个仓库都可以作为车辆的起始点和结束点。这意味着不同的车辆可以从不同的仓库出发，执行任务后返回到同一仓库或不同的仓库。