波兰式、逆波兰式介绍

我们日常用的四则运算的计算式，比如2+3*(4-9)，称为中缀表达式，人类去计算的时候知道这些运算符是有优先级的：（）> */ > +-，但是让计算机去运算就有歧义了。上面的式子是很简单的，实际可以遇到很多层括号，计算机不会去括号的。因此就有了波兰式和逆波兰式。
波兰式和逆波兰式里，没有括号，计算没有歧义。
波兰式，也称为前缀表达式，即运算符在前面，数字在后面，上面的计算式转换成波兰式后为+2*3-49。
逆波兰式，也称为后缀表达式，即运算符都在后面，数字在前面，上面的计算式转换成逆波兰式后为2349-*+。

常规表达式转换成逆波兰式

可以通过添括号、开括号把中缀表达式变成逆波兰式，依旧以上面的式子为例子，添括号是指对应每个运算数和每次运算都添加一层括号，上式添括号后变成((2) + ((3) * ((4) - (9))))。然后从最里面一层括号开始，去括号，并将运算符放在数字后面：

1、((2) + ((3) * (49-)))
2、((2) + (349-*))
3、(2349-*+)
4、2349-*+

编程让常规表达式转换成逆波兰式

如何让计算机将中缀表达式变成逆波兰式呢？转换成逆波兰式最重要的是运算符的顺序，需要考虑括号、优先级、以及左右顺序。转换过程中用一个栈保存遍历过程中遇到的运算符。从左到右遍历表达式的时候，遇到运算数，直接加入到结果表达式中；遇到运算符，需要入栈或者出栈：

如果当前运算符是’)‘，即括号内运算结束了，那么一直到站内的’('，所有的运算符都出栈；
如果当前运算符是’(‘，表示括号内运算开始，’('直接入栈；
如果当前栈顶运算符是’('，当前运算符直接入栈；
如果当前运算符等级高于栈顶运算符等级，直接入栈；比如当前是’*‘，栈顶是’+'，直接入栈；
如果当前运算符等级低于或者等于栈顶运算符等级，就出栈，直到栈空 or 栈顶运算等级更低，当前运算符入栈；

遍历完计算式后，如果栈不空将栈内运算符依次取出加入逆波兰式中，依旧以上面的2+3*(4-9)为例，转换成逆波兰式的过程如下：

原计算式	说明	逆波兰式计算式	~栈~
2+3*(4-9)	2—运算数直接加入结果中	2	空
+3*(4-9)	+—运算符且栈空，直接入栈	2	+
3*(4-9)	3—运算数直接加入结果中	23	+
*(4-9)	*—运算符且比栈顶+等级高，直接入栈	23	+*
(4-9)	(—直接入栈	23	+*(
4-9)	4—运算数直接加入结果中	234	+*(
-9)	- —运算符，且栈顶是(，直接入栈	234	+*(-
9)	9—运算数直接加入结果中	2349	+*(-
)	)—运算符，前面到(都出栈加入结果中	2349-	+*
将栈内运算符全都加入结果中	2349-*+	空

代码（C++）【不确定是否正确……】：

//判断优先级
int operator_priority(char ch){        
    if (ch== '+' || ch == '-')
        return 1;
    if (ch == '*' || ch == '/')
        return 2;
    if(ch == '(')
        return 0;
    return 0;
}
//判断是否是操作符
bool is_operator(char ch){
    return (ch == '+' || ch == '-' || ch == '*' || ch == '/' || ch == '(' || ch == ')');
}

//转换成逆波兰式 
vector<string> RPN(string s){
    vector<string> tokens;
    string operators;
    for(int i = 0 ; i < s.size() ; ){
        //操作符
        if(is_operator(s[i])){
            //如果是) 直到遇到( 操作符一直出栈
            if(s[i] == ')'){
                while(operators.back()!='('){
                    tokens.emplace_back(string(1,operators.back()));
                    operators.pop_back();
                }
                operators.pop_back();
                i++;
            }
            //操作符栈为空 或者 栈顶为( 或者 当前为( 直接入栈
            else if(operators.empty() || operators.back() == '(' ||s[i] == '(')
                operators.push_back(s[i++]);
            //当前操作符优先级更高 直接入栈
            else if(operator_priority(s[i]) > operator_priority(operators.back()))
                operators.push_back(s[i++]);
            //当前操作符优先级更低或者一样 前面的出栈    
            else{
                do{
                    tokens.emplace_back(string(1,operators.back()));
                    operators.pop_back();
                }while(operator_priority(s[i]) <= operator_priority(operators.back()));
                operators.push_back(s[i++]);
            }
        }     
        //操作数     
        else {
            int start = i;
            do{
                i++;
            }while(i<s.size() && !is_operator(s[i]));
            //操作数可能不止一位
            tokens.emplace_back(s.substr(start,i - start));
        }
    }
    while(!operators.empty()){
        tokens.emplace_back(string(1,operators.back()));
        operators.pop_back();            
    }
    return tokens;
}

逆波兰式运算过程

计算逆波兰式的时候，从前往后遍历式子，遇到运算符的时候，对其前面紧跟的两个运算数进行运算：

2349-*+从前往后遍历先遇到’-'，然后计算得到23(-5)*+;
23(-5)*+继续往后遍历遇到’*'，计算得到2(-15)+；
2(-15)+继续往后遍历遇到’+'，计算得到-13即为答案；

常规表达式转换成波兰式

可以通过添括号、开括号把中缀表达式变成波兰式，依旧以上面的式子为例子，添括号是指对应每个运算数和每次运算都添加一层括号，上式添括号后变成((2) + ((3) * ((4) - (9))))。然后从最里面一层括号开始，去括号，并将运算符放在数字前面：

1、((2) + ((3) * (-49)))
2、((2) + (*3-49))
3、(+2*3-49)
4、+2*3-49

编程让常规表达式转换成波兰式

！！！还不会！！！待解决……
或许是按照逆波兰式的解法，只是从后向前遍历原计算式，最后得到的结果再reverse一下（？）

波兰式运算过程

计算波兰式的时候，从后往前，遇到运算符的时候，对其后面紧跟的两个运算数进行运算：

+2*3-49从后往前最先遇到’-'，运算后变成+2*3(-5)
+2*3(-5)继续向前遍历遇到’*'，运算后变成+2(-15)
+2(-15)继续向前遍历遇到’+'，运算后得到-13，即为答案

150. 逆波兰式表达式求值

题目链接：150. 逆波兰式表达式求值
题目内容：
在这里插入图片描述
实际就按照逆波兰式的计算方法，遍历逆波兰式，遇到运算数就放入栈，遇到运算符就依次取栈顶元素，取两次，得到运算数num1和nums2，做运算后将结果压入栈中；直到遍历完逆波兰式，得到的就是结果。
需要注意，num1和nums2的四则运算，加法和乘法，两个数可以交换左右顺序，但是在减法和除法中，nums1 - nums2 ≠ nums2 - nums1，需要注意第一个从栈顶取出的是nums2，之后取的是nums1。
代码如下（C++）：

class Solution {
public:
    int evalRPN(vector<string>& tokens) {
        stack<int> num;
        for(int i = 0; i < tokens.size(); i++){
            //运算数直接入栈
            if(tokens[i] != "+" && tokens[i] != "-" && tokens[i] != "*" && tokens[i] != "/"){
            	//需要将string转换成int数字
                num.push(atoi(tokens[i].c_str()));
            }
            else{
                //注意先取的是nums2
                int num2 = num.top();
                num.pop();
                //之后取的是nums1
                int num1 = num.top();
                num.pop();
				//根据运算符做运算
                switch(tokens[i][0]){
                    case '+':
                        num.push(num1 + num2);
                        break;
                    case '-':
                        num.push(num1 - num2);
                        break;
                    case '*':
                        num.push(num1 * num2);
                        break;
                    case '/': 
                        num.push(num1 / num2);
                        break;
                }
            }
        }
        //最后压入栈的就是答案
        return num.top();
    }
};

224. 基本计算器

题目链接：224. 基本计算器
题目内容：
在这里插入图片描述
提示里需要注意的是，这个题目的运算只有加减，没有乘除。在只有加减的情况下，这个题目就单纯考察怎么开括号了。加法和减法优先级是一样的，括号对加法是没有用的，即(2+3) + (5-2)实际（5-2)的括号不加也行——(2+3) +5 -2；但对于减号却不行，(2+3) - (5-2)，如何要去掉括号，就变成了(2+3) -5 +2，括号前面的减号，打开括号后，括号内+ 会变成-，-会变成+。并且这个效应会随着括号以及减号的累加而累加，比如-(…-(…-()…)…)这样的三重括号，第一层括号内符号全部要变，乘-1；第二层括号内又要全部乘-1，由于第一层括号已经乘了-1了，最终第二层括号内的就负负得正；最内层括号外面有三个-，因此最终还是会乘-1。
因此本题的重点在于开括号的时候，记录括号前面是+还是-，是+正常运算，是-就需要乘以-1。
实现代码（C++）：

class Solution {
public:
    int calculate(string s) {
        int sign = 1;
        stack<int> ops;
        //记录括号前的符号，1表示加，-1表示减
        ops.push(1);
        int ans = 0;
        int i = 0, n = s.size();
        //遍历字符串s
        while(i < n){
            if(s[i] == ' '){
                i++;
            }
            //如果是加号，紧接着的运算数是＋还是-，需要看该层括号外对应的符号ops
            else if(s[i] == '+'){
                sign = ops.top();
                i++;
            }
            //如果是减号，后面数字的运算是+ or -，取决于括号前面的ops，且要反号
            else if(s[i] == '-'){
                sign = -ops.top();
                i++;
            }
            //如果是左括号，表示遇到新的一层括号，当前的sign即为这个括号前的符号，入栈
            else if(s[i] == '('){
                ops.push(sign);
                i++;
            }
            //如果是右括号，表示一层括号结束，pop掉对应的符号
            else if(s[i] == ')'){
                ops.pop();
                i++;
            }
            //是数字，就做相应的运算
            else{
                long num = 0;
                while(i < n && s[i] >= '0' && s[i] <= '9'){
                    num = num*10 + s[i] - '0';
                    i++;
                }
                ans += sign * num; //需要乘以sign，sign决定了这个数是加法还是减法
            }
        }
        return ans;
    }
};

如果题目中还有乘法除法，以及括号表示不同的优先级，可以将表达式转换成前缀表达式或者后缀表达式，即波兰式或者逆波兰式，然后开始运算。

227. 基本计算器Ⅱ

题目链接：227. 基本计算器Ⅱ
题目内容：
在这里插入图片描述
这个题目没有括号！只需要考虑加减乘除的优先级。因为乘法和除法优先级更高，在整个算式中应该先去计算乘法和除法，那我们就这么做！遍历字符串s的时候做如下操作：

如果是运算符，就保存该运算符；
如果是数字，那么就找到这个数字的终点，得到一个数字；
这个数字要做何操作，取决于前面的操作符，如果是乘or除，就用前面一个数与这个数字做相应运算，结果保存；
如果是加法，直接保存这个数；如果是减法，保存这个数的负数；

因为整个算式，第一个数字前如果有负号，那就保存其负数；如果第一个数是正数呢？因此我们要先给第一个数字一个初始化的操作符号’+'。另外要注意遇到空格直接跳过。
最终将保存的数字全部都加起来即可。因为在遍历s的过程中已经先做了乘除以及减法了，最后统一做加法。
代码如下（C++）：

class Solution {
public:   
    int calculate(string s) {
        int idx = 0, n = s.size();
        //用于存算式中的数字
        vector<int> nums;
        //num用于计算s中的每个不止一位的数字，比如321，需要先遍历到3然后是2然后是1
        long num = 0;
        //保存每个数字前面的操作符
        char opt = '+';
        //遍历s
        while(idx < n){
        	//如果是空格直接跳过
            if(s[idx] == ' '){
                idx++;
                continue;
            }
            //如果是数字
            if(s[idx] >= '0' && s[idx] <= '9'){
            	//计算这个数字
                num = 0;
                do{
                    num = num*10 + s[idx] -'0';
                    idx++;
                }while(idx<n && s[idx] >= '0' && s[idx] <= '9');
				//根据这个数字前面的操作符来保存
                switch(opt){
                    case '+': nums.emplace_back(num);
                              break;
                    case '-': nums.emplace_back(-num);
                              break;
                    case '*': nums.back() *= num;
                              break;
                    case '/': nums.back() /= num;
                              break;
                }
            }
            //操作符
            else{
                opt = s[idx];
                idx++;
            }
        }
        num = 0;
        //将保存的数都加起来得到结果
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
            num += nums[i];
        return num;
    }
};

282. 给表达式添加运算符

题目链接：282. 给表达式添加运算符
题目内容：
在这里插入图片描述
这个题目我是完全不会做……看的题解，然后试图理解……再自己试着写一写代码和题解。
题目里说在数字之间添加运算符，实际上可以添加也可以不添加，因此针对每两个数字之间的位置，有4种选择——不添加，或者添加+、-、*中的一个。此题用回溯法解题，时间复杂度是O(4^n)。
用回溯法解题的思路如下：

对于每两个数字之间不添加or添加以及添加什么，有四种选择：

什么都不添加：更新之前表达式的最后一个数字num1，假设当前数字是num2，num1=num1*10+num2，同时更新之前的表达式结果val = val - num1(旧) + num1(新)。
添加一个’+'：更新之前表达式，加上当前的数字num2，表达式的值val = val + num2；
添加一个’-'：更新之前表达式，减去当前的数字num2，表达式的值val = val - num2；
添加一个’*‘：更新之前表达式，同时注意’*‘优先级更高，表达式最后一个数num1，不管这个数之前是’+‘还是减’-‘还是乘’*'，表达式的值先减去val，再加上num1*num2；

进行深度搜索的结束条件是，遍历完字符串的时候，如果val == target就将当前的表达式加入结果数组中；
由于每一步更新表达式值的时候，可能涉及到上一步表达式的最后一个数字的操作，因此在递归调用函数的时候需要将num1传递下去；表达式要一直增加，因此要传递表达式；表达式的值也需要更新，因此要传递val；添加什么操作符也需要传递。

代码如下（C++）——抄的官方题解，真不会啊………………啊啊啊啊：

class Solution {
public:
    vector<string> addOperators(string num, int target) {
        int n = num.length();
        vector<string> ans;

        function<void(string&, int, long, long)> backtrack = [&](string &expr, int i, long res, long mul) {
            if (i == n) {
                if (res == target) {
                    ans.emplace_back(expr);
                }
                return;
            }
            int signIndex = expr.size();
            if (i > 0) {
                expr.push_back(0); // 占位，下面填充符号
            }
            long val = 0;
            // 枚举截取的数字长度（取多少位），注意数字可以是单个 0 但不能有前导零
            for (int j = i; j < n && (j == i || num[i] != '0'); ++j) {
                val = val * 10 + num[j] - '0';
                expr.push_back(num[j]);
                if (i == 0) { // 表达式开头不能添加符号
                    backtrack(expr, j + 1, val, val);
                } else { // 枚举符号
                    expr[signIndex] = '+'; backtrack(expr, j + 1, res + val, val);
                    expr[signIndex] = '-'; backtrack(expr, j + 1, res - val, -val);
                    expr[signIndex] = '*'; backtrack(expr, j + 1, res - mul + mul * val, mul * val);
                }
            }
            expr.resize(signIndex);
        };

        string expr;
        backtrack(expr, 0, 0, 0);
        return ans;
    }
};