本文章代码以c++为例！
一、力扣第647题：回文子串
题目：
给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。
回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。
子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。
具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。
示例 1：
输入：s = "abc" 输出：3 解释：三个回文子串: "a", "b", "c"
示例 2：
输入：s = "aaa" 输出：6 解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"
提示：
1 <= s.length <= 1000s由小写英文字母组成
思路
# 暴力解法
两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后还需要一层遍历判断这个区间是不是回文。所以时间复杂度：O(n^3)
# 动态规划
动规五部曲：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
如果大家做了很多这种子序列相关的题目，在定义dp数组的时候 很自然就会想题目求什么，我们就如何定义dp数组。
绝大多数题目确实是这样，不过本题如果我们定义，dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。
dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。
所以我们要看回文串的性质。 如图：
我们在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。
那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。
所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。
布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
- 确定递推公式
在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。
整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。
当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。
当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况
- 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
- 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
- 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
result++;
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
result就是统计回文子串的数量。
注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。
- dp数组如何初始化
dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。
所以dp[i][j]初始化为false。
- 确定遍历顺序
遍历顺序可有有点讲究了。
首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。
dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：
如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。
所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
代码如下：
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
result++;
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
}
}
- 举例推导dp数组
举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：
图中有6个true，所以就是有6个回文子串。
注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。
以上分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s) {
vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
int result = 0;
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
result++;
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
}
}
return result;
}
};
以上代码是为了凸显情况一二三，当然是可以简洁一下的，如下：
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s) {
vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
int result = 0;
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
}
return result;
}
};
- 时间复杂度：O(n^2)
- 空间复杂度：O(n^2)
# 双指针法
动态规划的空间复杂度是偏高的，我们再看一下双指针法。
首先确定回文串，就是找中心然后向两边扩散看是不是对称的就可以了。
在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况。
一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。
那么有人同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。
所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。
这两种情况可以放在一起计算，但分别计算思路更清晰，我倾向于分别计算，代码如下：
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s) {
int result = 0;
for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
result += extend(s, i, i, s.size()); // 以i为中心
result += extend(s, i, i + 1, s.size()); // 以i和i+1为中心
}
return result;
}
int extend(const string& s, int i, int j, int n) {
int res = 0;
while (i >= 0 && j < n && s[i] == s[j]) {
i--;
j++;
res++;
}
return res;
}
};
- 时间复杂度：O(n^2)
- 空间复杂度：O(1)
二、力扣第516题：最长回文子序列
题目：
给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。
子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。
示例 1：
输入：s = "bbbab" 输出：4 解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。
示例 2：
输入：s = "cbbd" 输出：2 解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb" 。
提示：
1 <= s.length <= 1000s仅由小写英文字母组成
思路
我们刚刚做过了 动态规划：回文子串
(opens new window)，求的是回文子串，而本题要求的是回文子序列， 要搞清楚这两者之间的区别。
回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！ 回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。
回文子串，可以做这两题：
- 647.回文子串
- 5.最长回文子串
思路其实是差不多的，但本题要比求回文子串简单一点，因为情况少了一点。
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。
- 确定递推公式
在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
如图：
（如果这里看不懂，回忆一下dp[i][j]的定义）
如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
代码如下：
if (s[i] == s[j]) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}
- dp数组如何初始化
首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。
所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。
其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。
vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
- 确定遍历顺序
从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：
所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。
j的话，可以正常从左向右遍历。
代码如下：
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
- 举例推导dp数组
输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：
红色框即：dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。
以上分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
int longestPalindromeSubseq(string s) {
vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
if (s[i] == s[j]) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[0][s.size() - 1];
}
};
- 时间复杂度: O(n^2)
- 空间复杂度: O(n^2)
