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题目描述

给定一个多项式 $(ax+by{)}^k$，请求出多项式展开后$x^n{y}^m$项的系数;
共一行，包含5 个整数，分别为$a,b,k,n,m$，每两个整数之间用一个空格隔开。

题目分析

这道题的题面非常的直简洁，当我一看到$(ax+by{)}^k$，就自然地想到了二 项 式 定 理，样子如下：
（上图来源自百度百科，有兴趣的可以自行查阅，这里不做赘述）

转念一想：$n!(1\le n\le 1000)$肯定会爆，而且因为有除法（分数）的出现，所以我们不能在过程中取模，此路不通……但是有个叫做杨辉三角的东西，可以直接算出系数：

所以其系数自然就是由上面的递推式就可以推出了，里面只有
加法，符合同余定理，可以用其余数进行加减；

这就完了吗？并没有，大家注意一下这道题中的 $x,y$是含有系数的，其实也很简单,因为：$$(ax{)}^k=a^k{x}^k(by{)}^k=b^k{y}^k$$

所以我们只需要算出$a^n$和$b^m$取模后的值，在乘上杨辉三角递推式的结果就可以了；即输出：(F数组是杨辉三角递推式，是从$(x+y{)}^0$开始算的)

$$ans=a^n\times b^m\times F[k+1][m+1]$$

完结撒花！

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mo=10007;
int a,b,k,n,m; 
int numa=1,numb=1;
int date,mapp[2005][2005],ans;
signed main(){
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&k,&n,&m);
	date=k-n;
	for(int i=1;i<=k+1;i++){mapp[i][1]=1;}
	for(int i=1;i<=k+1;i++){mapp[i][i]=1;}
	for(int i=3;i<=k+1;i++){
		for(int j=2;j<i;j++){
			mapp[i][j]=mapp[i-1][j-1]+mapp[i-1][j];
			mapp[i][j]%=mo;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){numa*=a;numa%=mo;}
	for(int i=1;i<=m;i++){numb*=b;numb%=mo;}
	ans=numa*numb%mo*mapp[k+1][date+1]%mo;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}