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错排问题

有理数运算

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错排问题

年会抽奖__牛客网

 

全部都不获奖的概率必定是由 n个人都拿错的情况种数 除 n个人拿出的所有排列情况数。
n个人拿出的所有排列情况数显然是n的阶乘。

 

假设a的名字没有被a拿到，其他n - 1个人都有可能拿到，即有n - 1种情况。假设b拿到了a的名字，那么对于b的名字有两种情况:

• 第一种是b的名字被a拿到了，也就是a、b互相拿到了对方的名字，那么对于其他n - 2个人互相拿错又是一个子问题f(n - 2).
• 第二种是b的名字没有被a拿到，则剩下的问题是子问题f(n - 1).

因此可得递推公式f(n) = (n - 1) * (f(n - 1) + f(n - 2)).

最终得出公式n人都不获奖的概率h(n) = (n - 1) * (f(n - 1) + f(n - 2)) / (n!) 

 

#include <iostream>
#include <cstdio>

int main()
{
	long long d[21] = { 0, 0, 1 }; // 错排数量，预留第一项为0，配合下文中输入的n
	long long f[21] = { 1, 1, 2 }; // 阶乘
	for (int i = 3; i <= 20; i++)
	{
		d[i] = (i - 1) * (d[i - 1] + d[i - 2]); //错排的递推公式
		f[i] = i * f[i - 1]; //阶乘的递推公式
	}
	int n;
	while (std::cin >> n)
	{
		printf("%.2f%%\n", 100.0 * d[n] / f[n]); //用100.0来把结果处理成double，保留两位小数
	}
	return 0;
}

有理数运算

Rational Arithmetic (20)__牛客网

 

 

C++标准类写法：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long int64;

class Rational
{
public:
	Rational(int64 n, int64 d)
	{
		negetive = false;
		isZero = false;
		// 在输入时分母永远不可能为0，但是经过运算之后分母可能为0
		if (0 == d)
		{
			isZero = true;
			return;
		}
		// 分子小于0，表示为负数
		if (n < 0)
		{
			negetive = !negetive;
		}
		// 在输入时分母一定不会小于0， 但是经过计算之后分母也可能会小于0
		if (d < 0)
		{
			negetive = !negetive;
		}
		// 如果分数是假分数，必须要将其化简为真分数 比如：5 / 3----> 1 2/3
		integer = n / d;
		numerator = n - integer * d;
		denominator = abs(d);
		// 如果不是最简的分数，还需要将其化简为最简的分数： 10 / 15 ----> 2 / 3
		// 只需给分子和分母分别除分子和分母最大公约数
		if (numerator < -1 || numerator > 1)
		{
			int gcd = CalcGCD(abs(numerator), denominator);
			if (gcd)
			{
				numerator /= gcd;
				denominator /= gcd;
			}
		}
		totalnumerator = integer * denominator + numerator;
	}
	Rational operator+(const Rational& r)const

	{
		int64 n = totalnumerator * r.denominator + r.totalnumerator * denominator;
		int64 d = denominator * r.denominator;
		return Rational(n, d);
	}
	Rational operator-(const Rational& r)const
	{
		int64 n = totalnumerator * r.denominator - r.totalnumerator * denominator;
		int64 d = denominator * r.denominator;
		return Rational(n, d);
	}
	Rational operator*(const Rational& r)const
	{
		int64 n = totalnumerator * r.totalnumerator;
		int64 d = denominator * r.denominator;
		return Rational(n, d);
	}
	Rational operator/(const Rational& r)const
	{
		int64 n = totalnumerator * r.denominator;
		int64 d = denominator * r.totalnumerator;
		return Rational(n, d);
	}
private:
	// 求最大公约数：辗转相除
	int64 CalcGCD(int64 a, int64 b)
	{
		if (0 == b)
			return a;
		return CalcGCD(b, a % b);
	}

	friend ostream& operator<<(ostream& _cout, const Rational& r)
	{
		if (r.isZero)
		{
			_cout << "Inf";
			return _cout;
		}
		if (0 == r.integer && 0 == r.numerator)
		{
			_cout << "0";
			return _cout;
		}
		// 如果是负数，需要用()括起来
		if (r.negetive)
		{
				_cout << "(-";
		}
		// 输出有理数：整数 + 分数
		// 整数: 可能存在也可能不存在
		if (r.integer)
		{
			_cout << abs(r.integer);
			// 如果分数部分存在，整数和分数之间有一个空格
			if (r.numerator)
			{
				_cout << " ";
			}
		}
		// 分数: 可能存在也可能不存在
		if (r.numerator)
		{
			_cout << abs(r.numerator) << "/" << r.denominator;
		}
		if (r.negetive)
		{
			_cout << ")";
		}
		return _cout;
	}
private:
	int64 numerator; // 分子
	int64 denominator; // 分母
	int64 integer; // 整数部分
	bool negetive; // 负数
	bool isZero; // 分母是否为0
	int64 totalnumerator; // 参与运算的分子：原分子 + 整数部分
};

int main()
{
	int64 n1, d1, n2, d2;
	while (scanf("%lld/%lld %lld/%lld", &n1, &d1, &n2, &d2) != EOF)
	{
		Rational r1(n1, d1);
		Rational r2(n2, d2);
		cout << r1 << " + " << r2 << " = " << r1 + r2 << endl;
		cout << r1 << " - " << r2 << " = " << r1 - r2 << endl;
		cout << r1 << " * " << r2 << " = " << r1 * r2 << endl;
		cout << r1 << " / " << r2 << " = " << r1 / r2 << endl;
	}
	return 0;
}

C语言强行模拟：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

void totout(ll n,ll d)
{
    if(d==0){
        cout<<"Inf"<<endl;
        return;
    }
    ll mod=gcd(n,d);
    n/=mod;
    d/=mod;
    ll zheng=n/d;
    ll fz=n-zheng*d;
    ll fm=d;
    if(fz<0||fm<0||zheng<0) cout<<"(";
    if(n==0) cout<<0;
    else if(zheng&&fz==0) printf("%lld",zheng);
    else if (zheng) printf("%lld %lld/%lld",zheng,fz,abs(fm));
    else if(fm<0) printf("-%lld/%lld",fz,abs(fm));
    else printf("%lld/%lld",fz,fm);
    if(fz<0||fm<0||zheng<0) cout<<")";
}

void add(ll n1,ll d1,ll n2,ll d2)
{
    ll n=n1*d2+n2*d1;
    ll d=d1*d2;
    totout(n,d);
}
void sub(ll n1,ll d1,ll n2,ll d2)
{
    ll n=n1*d2-n2*d1;
    ll d=d1*d2;
    totout(n,d);
}
void mul(ll n1,ll d1,ll n2,ll d2)
{
    ll n=n1*n2;
    ll d=d1*d2;
    totout(n,d);
}
void div(ll n1,ll d1,ll n2,ll d2)
{
    ll n=n1*d2;
    ll d=d1*n2;
    totout(n,d);
}

int main()
{
    ll n1,d1,n2,d2;
    scanf("%lld/%lld %lld/%lld",&n1,&d1,&n2,&d2);
    totout(n1,d1);cout<<" + ";totout(n2,d2);cout<<" = ";add(n1,d1,n2,d2);
    cout<<endl;
    totout(n1,d1);cout<<" - ";totout(n2,d2);cout<<" = ";sub(n1,d1,n2,d2);
    cout<<endl;
    totout(n1,d1);cout<<" * ";totout(n2,d2);cout<<" = ";mul(n1,d1,n2,d2);
    cout<<endl;
    totout(n1,d1);cout<<" / ";totout(n2,d2);cout<<" = ";div(n1,d1,n2,d2);

    return 0;
}