论文：Improved Denoising Diffusion Probabilistic Models

代码：https://link.zhihu.com/?target=https%3A//github.com/openai/improved-diffusion

时间：2021.02.18

Improved DDPM 贡献：

• 学习方差会让生成效果更好（DDPM 中只学习了均值，方差是一个常数）
• 提出了余弦加噪方法，比线性加噪效果更好

一、背景

首先回顾一下 DDPM

前向传播过程：

• 通过给输入 $x_0$ 进行 $t$ 次加噪 ${\beta }_t\in (0,1)$，得到最终的 $x_t$

  

• 假设给定一个足够大的 $T$ 和一个变化规则良好的 ${\beta }_t$，则 $x_T$ 就近似一个各向同性高斯分布。

• 假设已知 $q(x_{t-1}|x_t)$，就是能直接从 $x_t$ 推出 $x_{t-1}$，那么就能一路反推得到 $q(x_0)$，从而采样出 $x_0$，但是没有办法直接推出来，所以只能使用神经网络来估计出来每次反推的结果：

  

• 将 q 和 p 结合起来就是一个变分自编码器，可将变分下界（variational lower bound, VLB）写成如下形式：

  

• 公式 4 中，除了 L0 以外，其他每项都是两个高斯分布的 KL 散度

• 从 $x_0$ 可以直接得到 $x_t$，且边界分布如下，噪声的系数是方差，可以用这个系数来描述噪声的 schedule

  
  

• 基于贝叶斯理论，可以计算后验分布如下：

  

实际训练过程：

• 目标函数 4 是多个独立项之和，每一项 $L_{t-1}$ 基本都是真实噪声和预测噪声的 KL 散度

• 怎么预测噪声均值 ${\mu }_{\theta }$ 呢，之前的方法大都是直接使用神经网络来预测，还有一种方法是通过预测 $x_0$，然后基于公式 11 来预测。此外，还能通过使用公式 9 和 11 来得到：

  

• DDPM 中发现预测噪声能做的比较好，尤其是使用 reweighted loss 函数，下面的函数 14 可以看做从公式 4 中重加权得到的，且发现直接优化下面的公式 14 比优化 4 更好：

  

二、Improved DDPM——提升 Log-likelihood

尽管 DDPM 在 FID 和 Inception Score 上获得很很好的效果，但在 Log-likelihood 上没有得到很高的得分

Log-likelihood 也是生成式任务上一个很重要的衡量指标，一般认为优化 Log-likelihood 能够让生成式模型捕捉数据分布的整体信息，所以，探索 DDPM 为什么在 Log-likelihood 上表现的不好还是很重要的

其理论出处文中给的是 VQ-VAE2：

2.1 可学习的方差

DDPM 在优化 $L_{sample}$ 的时候，设置的固定的方差 ${\sigma }_t^{2}I$，方差是没有学习的，当 ${\sigma }_t^2={\beta }_t$ 或 ${\sigma }_t^2={\tilde{\beta }}_t$ 时，采样质量没什么差别。

所以 DDPM 设置的 ${\sigma }_t^2={\beta }_t$ ，T=1000 的情况下，在 ImageNet 64x64 上训练 200k iter 时， log-likelihood = 3.99。

本文作者尝试将 T=4000 时，log-likelihood 提升到了 3.77。

将固定方差变成可学习的方差：

• 在 DDPM 中，${\sum }_{\theta }(x_t,t)={\sigma }_t^{2}I$，其中 ${\sigma }_t$ 是不可学习的，是固定成了 ${\sigma }_t={\beta }_t$，且和 ${\sigma }_t^2={\tilde{\beta }}_t$ 时的采样效果没什么大的差别

• 一般来说，${\beta }_t$ 和 ${\tilde{\beta }}_t$ 表示了两种相反的极端，但为什么这种选择不会影响采样结果呢。如图 1 所示，展示了两者相除的结果，可以看出 ${\beta }_t$ 和 ${\tilde{\beta }}_t$ 除了在 t=0 附近不太相同以外，在后面的部分相除的结果都接近于 1，且随着 T 的增大，这两者更加接近。这就说明在无限增大扩散步骤时，${\sigma }_t$ 的选择对采样质量影响不大。也就是在使用更多的扩散步骤时，模型的平均值 ${\mu }_{\theta }(x_t,t)$ 比方差 ${\sum }_{\theta }(x_t,t)$ 更能决定这个分布。

  

• Improved DDPM 想如何改进：本文作者认为，虽然 DDPM 中证明了固定的 ${\sigma }_t$ 基本上不会影响采样的效果，但没说不会影响 log-likelihood 啊！所以，Improved DDPM 作者觉得可能会影响 log-likelihood，于是就在图 2 中展示了扩散模型的前几个 step 对变分下界的影响，而且发现了前几个 step 对变分下届的贡献最大，所以，似乎可以通过选择更好的 ${\sum }_{\theta }(x_t,t)$ 来提高 log-likelihood，所以，Improved DDPM 选择了学习 ${\sum }_{\theta }(x_t,t)$，而非固定的模式。

  

如何学习 ${\sum }_{\theta }(x_t,t)$：

• 如图 1 所示，${\sum }_{\theta }(x_t,t)$ 的变化范围很小，所以很难直接使用神经网络来预测这个值

• 本文作者发现将其参数化为在 ${\beta }_t$ 和 ${\tilde{\beta }}_t$ 在 log domain 之间的插值，也就是说模型输出一个向量 $v$，每个维度包含一个元素，使用如下的方式将输出变成方差：
  

• 而且没有对 $v$ 进行额外的约束，但其也不会越界。所以最终的目标函数如下，且 $\lambda =0.001$

  

2.2 改进 noise schedule

在 DDPM 中使用的是线性加噪的方式，在高分辨率的图上表现的较好，但对 64x64 和 32x32 的图来说，并非最优的。

前向加噪过程是随机的，且对后面的采样过程也不很重要。加噪过程如图 3 所示。

影响如图 4 所示，当跳过 20% 的反向过程时，使用线性加噪规则训练的模型（橘色）也不会变得更糟（使用 FID 衡量）。

因此，本文作者提出了余弦加噪方式：

• 这里使用的偏移 s 很小，是为了在 t=0 附近让 ${\beta }_t$ 更小
• 因为作者发现，在开始的时候噪声小的话，无法让网络很准确的预测 $ϵ$，所以 s=0.008.
• 作者使用 $co{s}^2$ 的原因是它是一个常见的期望形状的数学函数，选择也是任意的。

余弦加噪的特点：

• 在中间过程优一个线性的下降
• 在 t=0 和 t=T 附近，变化很小

线性加噪的特点：

• 下降到 0 的速度更快，所以破坏信息的速度更快

2.3 降低梯度噪声

本文是为了通过直接优化 $L_{vlb}$ 来得到最好的 log-likelihood，而不是优化 $L_{hybrid}$

然而，作者发现 $L_{vlb}$ 实际上很难直接优化，至少在变化多样的 ImageNet 64x64 上很难优化。

如图 6 展示了 $L_{vlb}$ 和 $L_{hybrid}$ 的学习曲线，两个曲线都很 noisy，就是不稳定，波动很大，但是橘色的 $L_{hybrid}$ 在同样训练步数的情况下的效果是更好一些的。

作者假设 $L_{vlb}$ 的梯度比 $L_{hybrid}$ 更 noisy，且通过衡量其梯度的 noisy scales 确定了这一点，如图 7 所示，所以，作者找到了一种降低 $L_{vlb}$ 方差的方法来直接优化 log-likelihood

如图 2 所示，$L_{vlb}$ 的不太项有不同的模值，所以假设采样 t 会在 $L_{vlb}$ 目标函数中带来均匀的噪声，所以作者使用了 importance sampling ：

• 由于 $E[L_t^2]$ 是事先不知道的，也会在训练的时候改变，所以会保留前 10 次的值，且在训练的时候动态更新。

有了这个 importance sampling 方法，就能够通过优化 $L_{vlb}$ 来实现最佳的 log-likelihood。如图 6，而且 importance sampling 的噪声比原始均匀采样的目标函数小得多。

三、效果