647. 回文子串

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视频链接：动态规划，字符串性质决定了DP数组的定义 | LeetCode：647.回文子串

给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。

回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。

子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：

输入：s = "abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"
示例 2：

输入：s = "aaa"
输出：6
解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

动态规划解法

确定dp数组下标及其含义

首先看到题目说是一个字符串，本来考虑dp一维数组，不过本题如果我们定义，dp[i] 为下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。

dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。

所以应该定义的还是二维数组，布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

确定递推公式

如果s[i] 不等于s[j]，没啥好说的，dp[i][j] = false

如果s[i] == s[j]，比较下一位，dp[i][j] = dp[i + 1][ j - 1]。这是错的！！！只考虑了一种情况，其实有三种情况。

有如下三种情况

情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

dp数组的初始化

全都初始化为false。

确定遍历顺序

i从前往后，j从后往前（这是错的 ！！！因为dp[i][j]需要用到dp[i+1][j - 1]，

因为dp[i+1]必须在dp[i]前得出结果；

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

也就是i从后往前， j从前往后

这里需要注意的是，不是说i是前面匹配j从后往前匹配吗？这里dp数组的遍历顺序并不一定是指字符串实际上的遍历顺序，而是dp数组填充的顺序。

打印dp数组

最终代码：

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size() , vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;
        for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i; j < s.size(); j++){
                if (s[i] == s[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n^2)

这里注意我们找的是最终回文串的长度，dp数组是bool，只用来记录状态，因此需要一个result来记录长度。注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。

双指针解法

这里直接放卡哥的代码了，二刷再来琢磨琢磨：

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
            result += extend(s, i, i, s.size()); // 以i为中心
            result += extend(s, i, i + 1, s.size()); // 以i和i+1为中心
        }
        return result;
    }
    int extend(const string& s, int i, int j, int n) {
        int res = 0;
        while (i >= 0 && j < n && s[i] == s[j]) {
            i--;
            j++;
            res++;
        }
        return res;
    }
};

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(1)

516. 最长回文子序列

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视频链接：动态规划再显神通，LeetCode：516.最长回文子序列

给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

示例 1：

输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。
示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb"

注意这题求的是子序列，不是子串，子序列可能是不连续的。

确定dp数组下标及其含义

仿照上题，dp[i][j] 表示闭区间[i,j]组成的子串的最长的长度。

确定递推公式

如果s[i] == s[j]，dp[i][j] = dp[i+1][j - 1] + 2。（因为i，j是从两头来的，回文一定是成对出现的）

如果不相等，考虑动i还是动j，取两者中最大的。dp[i][j] = max(dp[i +1][j]，dp[i][j - 1]）

初始化dp

首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

确定遍历顺序

所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

j的话，可以正常从左向右遍历。

举例推导dp数组

最终代码：

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        for(int i = 0; i < s.size(); i++){
            dp[i][i] = 1;
        }
        for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i + 1; j < s.size(); j++){
                if(s[i] == s[j]){
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                }else{
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j],dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][s.size() - 1];
    }
};