算法的特性
算法具有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。
输入输出
- 算法具有零个或多个输入
- 至少有一个或多个输出：算法是一定需要输出的，不需要输出，你用这个算法干吗？
有穷性
指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。现实中经常会写出死循环的代码，这就是不满足有穷性。
你说你写一个算法，计算机需要算上个二十年，一定会结束，它在数学意义上是有穷了，可是媳妇都熬成婆了，算法的意义也不就大了。
确定性
算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。
算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入只能有唯一的输出结果。算法的每个步骤被精确定义而无歧义。
可行性
算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。
可行性意味着算法可以转换为程序上机运行，并得到正确的结果。
算法设计的要求
正确性
算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
可读性
算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。
可读性高有助于人们理解算法，晦涩难懂的算法往往隐含错误，不易被发现，并且难于调试和修改。
我们写代码的目的，一方面是为了让计算机执行，但还有一个重要的目的是为了便于他人阅读，让人理解和交流，自己将来也可能阅读，如果可读性不好，时间长了自己都不知道写了些什么。可读性是算法（也包括实现它的代码）好坏很重要的标志。
健壮性
当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。
一个好的算法还应该能对输入数据不合法的情况做合适的处理。比如输入的时间或者距离不应该是负数等。
时间效率高和存储量低
时间效率指的是算法的执行时间，对于同一个问题，如果有多个算法能够解决，执行时间短的算法效率高，执行时间长的效率低。
存储量需求指的是算法在执行过程中需要的最大存储空间，主要指算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间。
不过，我们在实际应用中，一般更多的考虑时间效率高，以空间换取时间也是算法的常见思路。
算法效率的度量方法
事后统计方法
这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。
事后统计方法一般了解就行，基本没人使用。因为它有很大的缺陷，比如特别复杂的算法，本身编码就很困难，更别说编码完成后再进行测试得出算法效率，万一事后发现是很糟糕的算法，不是竹篮打水一场空吗？
事前分析估算方法
在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。
函数渐进增长
给定两个函数
f(n)和g(n),如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大，那么我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。
我们可以这样认为，随着n值的越来越大，它们在时间效率上的差异也就越来越大。
假设两个算法的输入规模都是n，算法A要做2n+3次操作，你可以理解为先有一个n次的循环，执行完成后，再有一个n次循环，最后有三次赋值或运算，共2n+3次操作。算法B要做3n+1次操作。
你觉得它们谁更快呢？显然是算法A。
第二个例子，算法C是4n+8，算法D是2n^2+1
这里的差距就更大了，显然是算法C更快。
算法时间复杂度定义
算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：
T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
用大写O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。
一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。
推导大O阶方法
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
- 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘
常见的大O阶
线性阶（O(n)）
一般含有非嵌套循环涉及线性阶，线性阶就是随着输入规模的扩大，对应计算次数呈直线增长，例如：
public static class Ex01 {
public static void main(String[] args) {
int sum = 0;
int n = 100;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
sum += i;
}
System.out.println("sum=" + sum);
}
}
平方阶（O(n^2)）
一般嵌套循环属于这种时间复杂度
public static class Ex02 {
public static void main(String[] args) {
int sum = 0, n = 100;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
sum += i;
}
}
System.out.println(sum);
}
}
立方阶（O(n^3)）
一般三层嵌套循环属于这种时间复杂度。
public static class Ex03 {
public static void main(String[] args) {
int x = 0, n = 100;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = i; j <= n; j++) {
for (int k = i; k <= n; k++) {
x++;
}
}
}
System.out.println(x);
}
}
这种复杂度已经是爆炸式增长，实际生产肯定要重新选择算法。
对数阶（O(logn)）
对于对数阶，由于随着输入规模n的增大，不管底数为多少，他们的增长趋势是一样的，所以我们会忽略底数。
public static class Ex04 {
public static void main(String[] args) {
int i = 1, n = 100;
while (i < n) {
i = i * 2;
}
}
}
一般二分法都是对数阶，二叉树的一些计算也是对数阶。对数阶相对于平方阶是巨大的提升，运行次数是折半的。
常数阶（O(1)）
一般不涉及循环操作的都是常数阶，因为它不会随着n的增长而增加操作次数。例如：
public static class Ex05 {
public static void main(String[] args) {
int n = 100;
int i = n + 2;
System.out.println(i);
}
}
不过我们一般也不讨论常数阶。
总结
| 描述 | 增长的数量级 | 说明 | 举例 |
|---|---|---|---|
| 常数级别 | 1 | 普通语句 | 将两个数相加 |
| 对数级别 | logN | 二分策略 | 二分查找 |
| 线性级别 | N | 循环 | 找出最大元素 |
| 线性对数级别 | NlogN | 分治思想 | 归并排序 |
| 平方级别 | N^2 | 双层循环 | 检查所有元素对 |
| 立方级别 | N^3 | 三层循环 | 检查所有三元组 |
| 指数级别 | 2^N | 穷举查找 | 检查所有子集 |
他们的复杂程度从低到高依次为
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3)
平方级别和立方级别的算法，时间已经是爆炸式增长，而指数级别的运行时间几乎是灾难，如果发现写出的算法是平方级别、指数级别，那么肯定需要优化。
