你真的懂分数吗？（二）——分数模型应用初探

news2024/12/27 19:39:44

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上回我们聊到了分数的数学结构和数学建模，构成了分数的基本数学模型。相关内容请戳：

你真的懂分数吗？（一）——分数的数学结构和建模

但是，这样的分数是定义在教科书层面的基本定义，就像字典不可能囊括语言的所有用法一样，它也无法给出分数的所有用法。而在实际数学使用中，还有诸多近似和一些使用习惯值得去理解，就像学一门语言一样。今天我们就基于分数的数学模型，来看如何把教科书上的数学用到生活中。

分数模型应用的思路

根据上篇的分数数学模型，它由数学结构和数学建模组成，我们解决分数相关的实际问题就同样走这两个过程：

1. 数学建模：待研究的对象能不能满足分数数学模型的映射条件所需要的基本特征，如果不满足，是否需要调整；

2. 数学结构上数学问题的模型求解：转化目标计算或证明的结果为数学结构下的数学问题，应用公理化定义和其他同样公理化下的已知定理计算或证明之。

实际上不只是分数模型，但凡是要借助数学结构作为工具解决实际问题，大抵都是这个用数学建模构建实际指向数学结构的映射，并在数学结构中计算或证明出数学问题的解，形成返回实际问题的结果，构成一个完整的数学模型。值得一提的是，数学建模这件事在当前的AI浪潮下暂时还没有被完全攻克，被攻克的都是那些如空气动力学与飞机，alpha go与围棋那样，已经有很好的数学模型映射实际问题为数学问题，并求出包括算法在内的计算解，并在满足的数据和算力实际条件下完美完成，实现了实际问题的解。因为建模所需要的来自对数学结构的抽象理解和实际物理经验的结合，是需要很深的，多模态的信息的输入，沉淀以及融合后才能及其复杂地产生的，就算是人类也需要在数学建模的映射和数学结构的构建上反复分析，推理和实验才能够确定一个有限范围内可用的模型。就比如你一定要问我为什么对牌叠要用排列建模，用循环队列建模，然后要用排列群来描述，而不是别的，我顶多像答语文题一样扯两句，是说不上这个前提为什么一定对和先进的，这也正是在严谨之上数学艺术的地方，背后是有很多灵感式的思维的。至少到目前为止，我还想象不出有什么模型能够建模这件事情，但是一定只是我现在的建模能力所限，还没观察到足够多和深度的特征，掌握足够够用的数学结构工具的原因，它一定可以套娃下去。

再回到分数的模型，我们为什么要构建这么一个通用的数学模型，并在此基础上发展一套逻辑自洽的数学结构呢？即凭什么是分数这么一个结构成为了教科书上留下来的为后人所学的标准数学模型呢？无他，就是因为这个模型有足够好的被证明的现实世界的通用性，即太多现实对象，无论来自科研，学习，工作还是生活的，都能够遇到满足或者近似满足这个建模映射条件的对象，并应用来解决对应的计算或证明问题；同时，作为一个独立的数学结构，也得到了无数人的补丁和修缮，变得足够经典，无懈可击，成了人类智慧的遗产，学它可以从实际和理论两方面，站在巨人的肩膀上。

但是，分数的原始数学建模动机，却是十分理想和简化的，以至于很难在实际生活中直接应用那个原始的建模映射。实际做法则是，在已经定义好的数学结构上，看哪些场景能够近似满足这个结构，并分析和实验它们的结果，没问题就拿来用了。比如，集合严格要求其内的每个元素等价没有区别，那面对有区别的一袋苹果，我们只能看作大小颜色一样以及直接丢弃歪瓜裂枣不计；而在我们切1个蛋糕的时候，无论是连续空间还是离散空间假设，都没法保证真正的均分切分，因此实际中并做不到数学结构所要求的等分的理想情况，必须忽略不计。

而且，在生活中的不同场景，我们在使用分数进行计算和应用这个数值进行评价判断时，往往也有着不同的使用场景，它们都截取了这些分数实际场景不同侧面的特征，用统一的数学结构建模，却映射成不同的方便特定场景使用需求的实际对象。接下来，我们就来看看分数在不同的生活场景中是怎么暗中被使用的，分别又有哪些不同。

最简分数

求最简分数可不仅仅是一道数学计算题目，它的数学结构是所有相等分数等价类的代表元素，代表着该大小分数的最小的分子分母表达，也即可公度的最简形式。这个等价类中所有的元素都可以作为比例（式）用等号连接，其元素也称为比。而在实际对象中，最简分数的求取，往往是为了能够尽可能不把整体分得太碎以造成损耗或太大的工作量。比如我家里的宝宝，按体重不同，每天要吃1,2,3,4,5,6,7 / 12瓶铁剂，我就希望能快点度过1和5这样需要在瓶子上划12个刻度的时刻，也在6 / 12最轻松地倒半瓶，而7 / 12的时候甚至想略过直接跳到8 / 12，在允许这个误差的损失情况下，找一个更方便的吃法。

当然，除了要约分求最简分数以外，也不是完全不需要做其逆运算，扩分，比如我虽然只要买切糕的1 / 2，但我还是希望把它切成10块，我拿5块来吃。

而因为不是所有对象都能像泥巴一样破镜重圆，不影响任何价值。所以1 / 2和2 / 4虽然在数学上的分数被相等划分到了等价类中，可是你可能会要半只鸡，但是你可能不想买1 / 4只鸡然后拿两份，甚至一块糕你切成了4块给我2块我都不想要，想要真正的半块糕。可见啊，数学规定，在实际中，不成立才是常态，完全对才见鬼了。

另外，一个相关的经典问题是，足球比分算不算比？答案是不算，因为4:2和2:1完全是不同的比分，但却是等价的比，同时，后项也可以为0了。因此，它只是符号上刚好和比的表达重合了，和分数本身关系并不大，无论是其数学结构，还是数学建模后所表达的实际含义。

可以看到，日常生活中使用分数的时候，根本没有理想化地符合假设，而是各种方式下去迁就分数的定义来使用。反而是一些人造的数字化的东西，符合程度高一点。比如直接用有限十进制小数度量的钱，虽然受10进制的影响，没法真的3等分，7等分，但规定好圆整规则以后，可以看作是以有限小数来表达金钱的数额，那就真的做到这个精度的均分了。当还没有微信支付手段的时候，对找不开的钱，均分不了的筹码，我们也只能在一定精度下留点带余除法的余数，当作基金充公或者随机给某一个人，而忽略这个影响了。

你以为分数的应用就求最简分数这么简单吗？那就大错特错了，不信，下一篇，待你进入一个从未见过想过的分数世界！

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！