题目

n(n<=5e5)个点的树，边只能选-1或1，

若对于每个点i来说，i相连的所有边的乘积值为-1，则称这棵树是「good tree」

根据Cayley公式，有种树形，

对于每一种树形，每条边都有2种选择，共种树，

在这些树中，求所有「good tree」的d(1,n)之和，

其中，d(1,n)为1到n的路径上的边的权值之和

答案对998244353取模

思路来源

kimoyami、uoj群

心得

首先，手玩可以发现，n为奇数的时候无解，答案为0

n为偶数，注意到，对于一棵确定的树形，安边方式是唯一的

然后，我想到了这个题，

2020牛客暑期多校训练营（第十场）C.Decrement on the Tree(贪心/树上一条链减1使所有链为0的最小操作次数)_Code92007的博客-CSDN博客

在一开始都没赋权值的时候，

等价于每次你可以选两个点u,v，将u,v路径上的边都乘以-1，

边权转化为点权，就是u-w-v上的w点被乘了两次-1，相当于没变，而u和v都被乘了-1，

最后要求所有点的点权都为-1，显然可以两两兑掉，

对于一棵确定的树，兑掉的方式不影响局面的值，一定有解

甚至还推出了一个奇怪的结论，

如果固定1到n的路径长度，相当于1和n是两个叶子节点，即两个奇度点，

那么，计1到n上的路径（不含1和n）上的奇数点的数量为x，则这棵树的贡献等于-x-1

然后就不会了

题解

n为偶数时，考虑有贡献的边即可，钦定1和n在这条边的左右两侧，

枚举左侧有多少点，统计在多少树形里面能出现这条边

引理：当左右两侧都为奇数个点时，中间这条边为-1；都为偶数个点时，为1

剩下的就是组合数计算了，枚举有1的这一侧有i个点，

1. C(n-2,i-1)，先从剩下n-2个点里选i-1个点出来放在1这侧，剩下的点自然就在n那侧了

2. 1这侧，一棵i个点的独立的树，乘以tree(i)

3. n这侧，一棵n-i个点的独立的树，乘以tree(n-i)

4. 中间这条边挑左侧的一个点，i种方案，挑右侧的一个点，n-i种方案，接在一起，i*(n-i)

其中，tree(i)即i个点的无根树的方案数，由Cayley公式，i的i-2次方

奇数答案为0，恰好能和这种写法统一，因为i和n-i的奇偶性不同，答案恰好互为相反数

引理的理解方式：

1. 可以用上面的心得来理解，即若一侧的点为奇数个，另一侧也为奇数个

两两兑掉后必还剩一个点，与另一侧的点相连时，使中间这条边为-1

2. （来自uoj群）自底向上归纳法：

考虑固定树的结构后，边权是唯一确定的（自底向上归纳），

钦定一个非叶节点为根，考虑这个归纳的过程，

发现当且仅当n是偶数且自底向上迭代到根时，根有恰好奇数个相邻的-1，

然后考虑枚举1,n路径上的边，对于一条边(u,v)，

当且仅当断掉后裂开的两个连通块大小都是奇数时，(u,v)固定的权值是1

自己的补充说明：

这是因为，考虑裂开的以u为根的连通块，

当纳入(u,v)这条边和v这个点时，连通块内点数恰好为偶数，对称侧同理考虑

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+10,mod=998244353;
int n,ans,fac[N],finv[N];
int modpow(int x,int n,int mod){
    int res=1;
    for(;n;n>>=1,x=1ll*x*x%mod){
        if(n&1)res=1ll*res*x%mod;
    }
    return res;
}
int C(int n,int m){
    if(n<0 || m<0 || n<m)return 0;
    return 1ll*fac[n]*finv[m]%mod*finv[n-m]%mod;
}
int tree(int x){
    if(x==1)return x;
    return modpow(x,x-2,mod);
}
int main(){
    cin>>n;
    fac[0]=fac[1]=finv[0]=finv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        finv[i]=1ll*(mod-mod/i)*finv[mod%i]%mod;
    }
    for(int i=2;i<=n;++i){
        fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%mod;
        finv[i]=1ll*finv[i]*finv[i-1]%mod;
    }
    for(int i=1;i<n;++i){
        int v=1ll*C(n-2,i-1)*tree(i)%mod*tree(n-i)%mod*i%mod*(n-i)%mod;
        int sg=(i&1)?-1:1;
        ans=(ans+sg*v)%mod;
        ans=(ans+mod)%mod;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}